Мироновский Л.А. - Теория инвариантов и ее применение в технической диагностике

15

УДК 681.3.06

Л.А. Мироновский

Государственный университет аэрокосмического приборостроения,

г. Санкт-Петербург

ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКЕ

Приводятся основные понятия классической теории инвариантов и указывается на ее роль при синтезе и анализе систем технической диагностики. Описываются важнейшие инварианты линейных динамических систем, приводится пример применения теории инвариантов при организации диагностирования инерциальной навигационной системы.

1. Понятие инвариантности в науке и технике

Понятие инвариантности и его различные модификации чрезвычайно широко используются в научных и технических дисциплинах. Оно играет центральную роль во многих математических и физических теориях, отражая наиболее фундаментальные свойства изучаемых объектов и явлений.

Под инвариантностью в широком смысле слова понимают неизменность, сохраняемость чего-либо в процессе тех или иных преобразований. При этом строгого определения инвариантности и инвариантов зачастую не даётся, особенно если речь идет о технических и гуманитарных дисциплинах.

Большое значение имеет выделение и изучение инвариантных показателей организма в медицине при диагностике различных заболеваний и отклонений от нормы. К наиболее известным инвариантам здесь относятся: нормальная температура, артериальное давление, группа крови, число хромосом и др.

Более строгий смысл вкладывается в понятие инвариантности в естественных науках. В частности, в физике инвариантность выражается в форме различных законов сохранения, которые связывают переменные, характеризующие состояние физической системы. Например, инвариантом консервативной механической системы является её полная энергия, которая остается постоянной при любых изменениях кинетической и потенциальной энергий. Многочисленные инварианты, отражающие законы сохранения количества движения, вещества, тепла, заряда и т.д. часто встречаются в задачах математической физики, электро-, гидро- и аэродинамики и других областях.

Отыскание подобных инвариантов составляет одну из главных задач науки, и открытие каждого нового инварианта всегда представляло собой научное событие. В начале 17 века таким событием было, например, открытие Кеплером инвариантов движения небесных тел – полукубического инварианта R³/T² (R – радиус орбиты; Т – период обращения) и секториального инварианта S, равного площади сектора, заметаемого за единицу времени орбитальным вектором при движении планеты. Обе эти величины сохраняют постоянное значение для всех планет солнечной системы. В настоящее время в небесной механике известен целый ряд инвариантов такого рода – это так называемые первые интегралы уравнений движения небесных тел.

Понятие инвариантности широко используется и в технических науках. Например, в традиционной теории автоматического управления инвариантными называются системы, выходные сигналы которых реагируют на управляющие входные воздействия, но нечувствительны к возмущающим воздействиям и помехам. Задача синтеза таких систем имеет важное прикладное значение, для её решения разработаны различные специальные методы.

В современной теории систем управления инвариантами называют характеристики динамических систем, остающиеся неизменными при определенных преобразованиях этих систем. Например, передаточные нули системы инвариантны по отношению к введению в систему обратных связей, марковские параметры инвариантны к изменению базиса в пространстве состояний, инвариантные показатели управляемости и наблюдаемости (инварианты Кронекера) не меняются при введении обратных связей по состоянию и произвольных линейных преобразованиях входов, выходов и переменных состояния. Знание этих и других инвариантов существенно облегчает решение задач анализа динамических систем, синтеза систем управления, контроля и диагностики систем автоматического управления.

Наиболее полное и законченное развитие получила теория инвариантов в классической математике. Она активно применяется в геометрии, алгебре, топологии, теории групп, теории чисел и многих других разделах математики. При этом в математике инвариантом называется все то, что остаётся неизменным при некоторых преобразованиях математических объектов. Например, длина вектора инвариантна к ортогональному преобразованию декартовой системы координат, собственные числа матриц инвариантны к преобразованиям подобия, ранг системы векторов является инвариантом по отношению к произвольному линейному преобразованию пространства, дискриминант квадратного уравнения не меняет знака при линейной замене переменной. Все это примеры инвариантов соответствующих преобразований.

Во всех случаях инварианты представляют собой важные характеристики системы, отражающие её самые существенные свойства. Поэтому изучение любой системы, с какой бы целью оно не проводилось (анализ, моделирование, управление, редукция), следует начинать с отыскания её инвариантов. В этом смысле теория любого явления сводится к описанию его инвариантов и связей между ними.

Знание инвариантов в данной предметной области может значительно облегчить решение теоретических и прикладных задач, приводя к экономии усилий, времени и вычислительных ресурсов. Общая идея применения теории инвариантов при решении прикладных задач состоит в том, что нужно указать и описать группу допустимых преобразований и отыскать её инварианты, после чего можно рассчитывать на значительное упрощение процедуры решения.

Очевидно, что для успешного применения этой идеи необходимо иметь запас знаний об инвариантах часто встречающихся математических преобразований. Богатая информация о таких инвариантах, накопленная в рамках классической теории инвариантов и теории линейных динамических систем, к сожалению, плохо освещена в технической литературе и крайне слабо используется инженерами и специалистами.

Отдельные сведения об инвариантах динамических систем содержатся в учебных пособиях [1–3], систематическое изложение теории инвариантов имеется в учебнике Гуревича [4], однако использование тензорного языка при изложении значительно затрудняет его чтение. Ещё менее доступны для понимания инженерами современные математические книги по теории инвариантов [5, 6], свидетельствующие о возрастании интереса математиков к этой области.

2. Исторические сведения

Возникновение теории инвариантов как математической дисциплины относится к середине 18 века, хотя отдельные разрозненные результаты по инвариантам были известны и ранее. Так Лагранж ещё в 18 веке, исследуя представление целых чисел квадратичными формами вида

(2.1)

обнаружил, что при замене переменных x = x' + y все коэффициенты квадратичной формы изменяются, однако их комбинация вида  = ac – b² остается неизменной (1773 г.). Эта величина, получившая название дискриминанта квадратичной формы (она совпадает с обычным дискриминантом квадратного трехчлена, получаемого из (2.1) при у = 1), является единственным инвариантом формы (2.1).

Спустя четверть века Гаусс рассматривал произвольные линейные замены переменных в бинарной форме (2.1) и в тернарной форме

(2.2)

Он показал, что при этом дискриминант умножается на квадрат определителя матрицы, описывающей замену переменных (1801 г.).

Обобщение этого результата на случай квадратичной формы от произвольного числа аргументов

(2.3)

было получено через 16 лет в работах Бине и Коши с помощью теоремы об определителе произведения матриц. В современных обозначениях их результат сводится к следующему. Запишем квадратичную форму (2.3) в матричных обозначениях

(2.4)

После замены переменных Х = GY с матрицей G получаем

Вычислим определитель матрицы А':

(2.5)

Таким образом, определитель квадратичной формы (именно он является её дискриминантом) при замене переменных с матрицей G действительно умножается на квадрат её определителя. В терминах теории инвариантов он представляет собой относительный инвариант порядка два. Отсюда легко получается результат Лагранжа, поскольку для бинарной квадратичной формы (2.1) имеем

т.е. в данном случае определитель квадратичной формы представляет собой абсолютный алгебраический инвариант (так в теории инвариантов называют алгебраические выражения из коэффициентов форм, не меняющиеся при замене переменных).

Другое направление, предшествовавшее созданию теории инвариантов, связано с исследованиями в области проективной геометрии, выполненными в первой половине 19 века Понселе, Плюккером, Мебиусом и другими математиками. Именно в это время сформировался взгляд на евклидову и аффинную геометрии, как на частные случаи проективной. Согласно нему евклидова геометрия изучает свойства фигур, сохраняющиеся при их ортогональном проектировании, аффинная при цилиндрическом, а проективная – при коническом проектировании. Типичным инвариантом первого из этих преобразований является длина отрезка (метрический инвариант). Цилиндрическое проектирование уже не сохраняет длин отрезков, но сохраняет их отношение, которое является аффинным инвариантом. Наконец, при коническом проектировании не сохраняется ни длины отрезков, ни их отношения, но сохраняется "отношение отношений" – так называемое двойное или сложное отношение. Оно представляет собой основной проективный инвариант и занимает центральное место в теоремах проективной геометрии.

Наиболее последовательно и убедительно взгляд на любую геометрию (включая неевклидовы), как науку об инвариантах геометрических объектов относительно некоторой группы преобразований, был развит впоследствии в знаменитой лекции Феликса Клейна, прочитанной им в 1872 г. при вступлении в должность профессора университета в Эрлангене ( Клейну было тогда всего 23 года!).

Окончательное становление теории инвариантов принято связывать с работами Дж. Буля (сегодня имя этого математика более известно в связи с булевой алгеброй), Дж. Сильвестра и А. Кэли, выполненными в 1840-1850 гг.. В это время был открыт закон инерции Сильвестра для квадратичных форм, создано исчисление гипердетерминантов Кэли, введены понятия ковариантов, комитантов и других разновидностей инвариантов (сам термин "инвариант" впервые был введен Дж. Сильвестром в 1851 г.).

Тогда же Кэли сформулировал общую проблему об отыскании базиса алгебраических инвариантов, т. е. такого конечного набора инвариантов J₁, …, J_N, чтобы всякий другой инвариант J мог быть выражен в виде многочлена от них

(2.6)

При этом под инвариантом, в свою очередь, понимался некоторый многочлен от коэффициентов исследуемой формы или системы форм, не меняющийся при заданных преобразованиях переменных.

Говоря языком современной алгебры, множество инвариантов образует кольцо (если J₁, J₂ – инварианты, то ими будут также J₁+ J₂, J₁ J₂ и т. д.), поэтому проблема Кэли состоит в отыскании конечного числа образующих этого кольца.

Первый наиболее значительный результат в этом направлении получил немецкий математик П. Гордан, который в 1868 г. доказал, выполнив массу трудоемких алгебраических преобразований, существование такого базиса для бинарных форм произвольного порядка r, т.е. форм вида

(2.7)

Базисный инвариант для случая r = 2 был указан выше – это найденный Лагранжем дискриминант квадратичной формы (2.1). При r = 3 у бинарной кубической формы

(2.8)

также имеется только один базисный инвариант – дискриминант этой формы