Мироновский Л.А. - Теория инвариантов и ее применение в технической диагностике, страница 3

Многочисленность задач теории инвариантов определяется не только разнообразием исследуемых объектов (т.е. рассмотрением различных множеств М), но и разнообразием используемых преобразований (т.е. рассмотрением различных групп G).

Ограничимся рассмотрением четырех наиболее употребительных групп вещественных линейных преобразований.

1) Полная линейная группа GL(n), называемая также центроаффинной группой. Она образована всеми невырожденными квадратными матрицами G n-го порядка, т.е. матрицами, удовлетворяющими условию . Число свободных параметров группы N равно числу элементов матрицы G, т.е. N = n².

2) Специальная линейная группа SL(n), называемая также унимодулярной группой. Она отличается от группы GL(n) заменой условия на условие , т.е. образована матрицами с единичным определителем. Благодаря этому свойству обеспечивается сохранение площадей (объемов) геометрических фигур. Число свободных параметров этой группы на 1 меньше, чем у полной линейной группы, т. е. равно N = n² – 1.

3) Унипотентная группа Т(n), образованная верхними треугольными матрицами с единичной диагональю. Определители таких матриц равны единице, поэтому унипотентные матрицы одновременно являются унимодулярными. Название группы связано с тем, что характеристический полином любой матрицы GТ(n) имеет вид (-1)ⁿ; т.е. все её собственные числа равны единице. Число свободных параметров этой группы равно числу наддиагональных элементов матрицы, т.е. N = n(n–1)/2.

Каждая из перечисленных групп является подгруппой предыдущей: T(n)  SL(n)  G(n).

4) Ортогональная группа O(n), образованная всеми ортогональными матрицами n–го порядка, т.е. матрицами, удовлетворяющими условиям G^TG = E. Определители таких матриц равны +1 или –1. С геометрической, точки зрения эта группа осуществляет различные вращения пространства и зеркальные отображения, т.е. преобразования, не изменяющие длины векторов. Число свободных параметров ортогональной группы такое же, как у унипотентной группы N = n (n–l)/2. В частности для группы 0(3) получаем N = 3, что соответствует трем углам Эйлера, характеризующим произвольный поворот тела в трехмерном пространстве.

Приведенные данные о числе свободных параметров четырех классических групп сведены в табл. 2, где кроме того указаны названия групп, их обозначения и ограничения на элементы.

Таблица 2

Характеристика классических групп

Кроме перечисленных, к классическим группам относят ещё специальную ортогональную группу, унитарную, симплектическую, и некоторые другие. Можно также рассматривать отдельные подгруппы приведенных групп, например, группу масштабных преобразований, задаваемых диагональными матрицами, группу гомотетий (преобразований подобия), задаваемых скалярными матрицами, симметрическую группу, задаваемую матрицами перестановок и др.

Даже если ограничиться рассмотрением четырех перечисленных групп преобразований для четырех стандартных математических объектов, включенных в табл. 1, то получается 16 базовых задач теории инвариантов. Если же рассмотреть другие классические группы и более сложные математические объекты, то их число возрастает до нескольких десятков.

Сформулируем четыре основные вопроса, возникающие при решении каждой из базовых задач. Они сводятся к следующему.

1) Описание полной системы относительных и абсолютных инвариантов.

2) Определение числа независимых инвариантов и построение базисной системы инвариантов.

3) Отыскание сизигий – соотношений, связывающих базисные инварианты.

4) Определение простейшего вида, к которому можно привести исследуемый объект с помощью рассматриваемой группы преобразований, т.е. построение канонических форм.

В этот перечень не включены вопросы о существовании и конечности базисов инвариантов и сизигий, об отыскании критериев эквивалентности объектов относительно рассматриваемой группы преобразований, о вычислении матриц перехода, связывающих эквивалентные объекты, о решении обратных задач теории инвариантов и некоторые другие.

Рис. 1

Классификация задач теории инвариантов по трем рассмотренным признакам – виду множества М, типу группы G и цели исследования – представлена на рис. 1. Она отражает 4*4*5=80 различных задач.

При этом взаимосвязь инвариантов различных групп подчиняется принципу вложенности, согласно которому цепочка включений групп преобразований порождает обратную цепочку включений для их инвариантов. Применительно к рассматриваемым группам преобразований этот принцип иллюстрируется следующими двумя цепочками:

где через I_1, I_2, I_3, I₄ обозначены множества инвариантов соответствующих групп. В частности, последняя цепочка включений означает, что аффинные инварианты являются подмножеством унимодальных, а те в свою очередь – подмножеством изометрических инвариантов. Тем самым любой аффинный инвариант автоматически будет унимодальным и изометрическим инвариантом, т.е. аффинные инварианты отображают более фундаментальные свойства системы векторов.

4. Применение теории инвариантов в технической диагностике

В современной теории систем управления инвариантами называют характеристики динамических систем, остающиеся неизменными при определенных преобразованиях этих систем. Например, передаточные нули системы инвариантны по отношению к введению в систему обратных связей, марковские параметры инвариантны к изменению базиса в пространстве состояний, инвариантные показатели управляемости и наблюдаемости (инварианты Кронекера) не меняются при введении обратных связей по состоянию и произвольных линейных преобразованиях входов, выходов и переменных состояния. Знание этих и других инвариантов динамических систем существенно облегчает решение задач анализа и синтеза систем управления, а также решение диагностических задач в указанной предметной области.

Кратко остановимся на возможных направлениях применения теории инвариантов в технической диагностике.

Современное состояние технической диагностики динамических систем характеризуется чрезвычайной пестротой и разнообразием разработанных методов, а также использованием разнородного математического аппарата. Поэтому желателен поиск и использование общих принципов, позволяющих систематизировать и объединять различные методы и подходы. Одним из таких объединяющих принципов может служить теория алгебраических инвариантов динамических систем.

Как известно, в технической диагностике различают тестовое и функциональное диагностирование. Первое из них выполняется в рабочем режиме, второе – в специальном режиме при подаче на вход системы тестовых воздействий. Характерным примером тестового диагностирования являются методы оценивания параметров, развитые в теории идентификации. Характерным примером функционального диагностирования являются методы оценивания состояния и методы аналитической избыточности.

Теория алгебраических инвариантов позволяет рассматривать оба указанных вида диагностирования с единых позиций.

С точки зрения этой теории тестовая диагностика заключается в проверке неизменности численных значений некоторых параметров проверяемой системы. Эти параметры целесообразно выбирать из функционально полного набора алгебраических инвариантов данной системы. В качестве таких алгебраических инвариантов могут быть использованы коэффициенты передаточной функции системы, моменты и марковские параметры, операторные нормы системы, ее сингулярные числа и т.д.

Аналогично при функциональном диагностировании в качестве диагностических признаков также выступают некоторые инварианты, сохраняющие свое значение на траекториях динамической системы. Эти инварианты допускают естественное описание в терминах групп Ли, порождаемых фазовым потоком проверяемой динамической системы.

С точки зрения классической теории инвариантов при тестовом диагностировании методами идентификации и оценивания параметров в качестве множества М выступают параметры математического описания линейных динамических систем, в качестве группы G – группа преобразований переменных состояния. При функциональном диагностировании методами оценивания состояний и аналитической избыточности в качестве множества М выступают многообразия в фазовом пространстве, в качестве группы G – фазовый поток соответствующей линейной динамической системы, порождающей некоторую группу Ли.

В обоих случаях диагностическими признаками служат инварианты группы G. Таким образом, теория инвариантов позволяет единообразно описать внешне разнородные методы функционального и тестового диагностирования. В значительной степени это оказывается справедливым и в отношении метрологических методов, применяемых при исследовании, поверке и аттестации динамических систем.

Другое важное применение теории инвариантов в технической диагностике связано с выбором и анализом диагностических признаков. Ими могут быть выходные сигналы объекта или его отдельных блоков, параметры объекта, а также косвенные признаки, такие как температура, уровень вибраций и т.п. Здесь также может оказаться полезной теория алгебраических инвариантов. В частности, задача формирования списка потенциальных диагностических признаков сводится к отысканию функционально полных базисных наборов параметрических инвариантов, а задача выбора минимального набора диагностических признаков сводится к анализу соответствующих характеристик инвариантов (информативность, различимость и т.д.). Задача разработки диагностических процедур может трактоваться как задача разработки методов и алгоритмов экспериментального определения различных параметрических инвариантов, а задача апостериорной обработки результатов измерений – как задача перехода из пространства инвариантов в пространство прямых диагностических или метрологических показателей.

4.1. Инварианты линейных динамических систем. Проблема отыскания инвариантов динамических систем значительно сложнее проблемы отыскания инвариантов стандартных математических объектов – векторов, матриц, линейных и квадратичных форм, рассматриваемой в классической теории инвариантов. Это связано как с большей сложностью изучаемых объектов (описание линейной динамической системы в пространстве состояний задается четверкой матриц), так и с большим числом возможных групповых преобразований объектов (линейные преобразования входов, выходов, переменных состояния, замыкание различных обратных связей). В настоящее время теория инвариантов динамических систем находится на этапе становления. Наиболее изучена теория инвариантов линейных стационарных динамических систем, имеющая много точек соприкосновения с классической теорией инвариантов [7-10].

Далее мы ограничимся рассмотрением линейных стационарных динамических систем с одним входом u и одним выходом y. Такие системы могут быть описаны дифференциальным уравнением, связывающим входные и выходные сигналы:

(4.1)

либо операторным уравнением где Q(p) – передаточная функция (ПФ) системы:

(4.2)