стр.68-92 (Раздаточные материалы), страница 4

Если доверительные вероятности погрешностей аргументов различны, то их необходимо привести к одному значению Р_д.

При нелинейных косвенных измерениях возни­кают существенные сложности их статистической обработки, связанные с изменением законов распределения аргументов x_i в результате их функциональных преобразований. Поэтому прово­дят приближенную оценку погрешности результата косвенного измерения на основе линеаризации функции (2.45).

Запишем выражение для полного дифференциала функции А через частные производные по аргументам x_i

Согласно определению полный дифференциал функции — это приращение функции, вызванное малыми приращениями ее аргументов. Так как погрешности измерения аргументов всегда являются малыми величинами по сравнению с номинальными

значениями аргументов, то справедлива замена в (2.50) дифферен­циалов аргументов dx, на погрешности измерений ∆x_i а дифферен­циала функции dA на погрешность результата измерения ∆А:

(2.51)

(2.48)

Если проанализировать формулу (2.51), то можно получить ряд простых правил оценивания погрешности результата косвен­ного измерения.

Правило 1. Погрешности в суммах и разностях. Если ар­гументы х₁ и х₂ измерены с погрешностями ∆х₁ и ∆х₂ и измерен­ные значения используют для вычисления суммы или разности А = х₁ + х₂, то суммируют абсолютные погрешности без учета знака

(2.49)

Правило2.Погрешности в произведениях и частных. Если измеренные значения х₁ и х₂ используют для вычисления А = х₁• х₂, или А= х₁/ х₂, то суммируют относительные погрешности δА= δх₁+δх₂, где δх = ∆х/х.

Правило 3. Измеренная величина умножается на кон­станту. Если х используют для вычисления произведения А = В•х, в котором В не имеет погрешности, то δА =│ В│δх.

Правило 4. Возведение в степень. Если х используют для вычисления степени А = xⁿ, то δА = nδ.

Правило 5. Погрешность в произвольной функции одной переменной. Если х используют для вычисления функции А(х), то

Вывести эти правила можно легко самостоятельно. Использо­вание правил позволяет получить не слишком завышенную оценку предельной погрешности результата нелинейного косвенного из­мерения при не слишком большом числе аргументов (т < 5).

(2.50)

Результат косвенного измерения представляют в виде сле­дующей формулы

(2.52)

в которой учитывается доверительная вероятность.

2.9. Совместные измерения

Совместными называют выполняемые одновременно изме­рения двух или нескольких неодноименных физических величин с целью установления зависимости между ними. Пусть требуется определить зависимость у = f(x) между параметрами х и у. Для этого необходимо изменять величину х и при каждом ее уста­новленном значении выполнять одновременное измерение вели­чин х и у. В результате подобных измерений находят координаты (х_i у_i) искомой зависимости у =f(x). Экспериментальные коорди­наты х_i у_i, (где i = 1, 2, ... , п — число совместных измерений) отли­чаются от истинных координат (х_i у_i) из-за систематических и случайных погрешностей. Поэтому возникает задача наилучшей аппроксимации экспериментальной зависимости у =f(x) по коор­динатам x_i,y_i.

Оптимальный подход к решению подобных задач возможен на основе применения метода наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов

Сущность метода наименьших квадратов состоит в том, что наивероятнейшими значениями аргументов искомой аналитиче­ской зависимости будут такие, при которых сумма квадратов от­клонений экспериментальных значений функции у, от значений самой функции у, будет наименьшей:

Пусть y является функцией нескольких аргументов:

где а₀ , а_1,…… а_т — неизвестные коэффициенты. Тогда на основа­нии п экспериментальных пар у_i и х_i , следует определить т + 1 искомых аргументов аналитической зависимости, которая наи­лучшим образом описывает массив у_i и х_i т.е. метод наименьших квадратов требует выполнения условия:

(2.54)

На основе метода наименьших квадратов можно проводить аппроксимацию различных аналитических зависимостей, напри­мер, выражаемых полиномами вида: у = а + bх + сх² + …..+ ехⁿ, где коэффициенты а, b, с, ... , е — константы.

Рассмотрим важный для практики случай, когда искомая за­висимость имеет линейный характер вида

(2.55)

у = а +bx

(2.53)

П ри использовании метода наименьших квадратов необхо­димо по набору из п экспери­ментальных координат (х_i у_i) найти такие оценки неиз­вестных постоянных а и b, при которых получают прямую, наилучшим образом отражаю­щую истинную анализируемую линию (2.55). График функции вида (2.55) представляет собой прямую линию с коэффициен­том b = tgα, пересекающую ось ординат в точке у = а (рис. 2.5).

Рис 2.5 Апроксимация

Исследуемой зависомости

В соответствии с методом наименьших квадратов наилуч­шим оценкам искомым постоянным а и b соответствует мини­мальное значение следующего выражения:

(2.56)

где [у_i, - (а + bx_i)] — отклонение измеренных значений у, от вы­численных по формуле (2.55) при х =xi. Можно показать, что:

(2.57)

З десь

(2.58)

Степень приближения найденных значений а и b к истинным значениям этих величин оценивается с помощью их СКО σ_a и σ_b :

(2.59)

где а, — СКО погрешности измерения величины у, значение ко­торой можно получить из паспортных данных на средство изме­рения или вычислить по формуле:

(2.60)

П ример 2.12. Требуется установить реальную зависимость сопро­тивления металлического проводника от температуры Ri=f(t) по резуль­татам совместных измерений (табл. 2.4). При этом теоретическая зависимость определена как:

где R₀ — сопротивление проводника при 0 °С; а — температурный ко­эффициент сопротивления проводника; t — температура, 0 °С.

Таблица 2.4. Результаты совместных измерений

t °с	10	15	20	25
Ri Om	10,3	10,9	11,3	11,6

Преобразуем последнюю формулу:

в которой а = R₀ ; b= αR₀.

Расчеты по формулам (2.58) и (2.59) при п = 4, х_i=t_i, и у_i = R_i дают

следующие результаты:

а = 9,52 Ом; Ь = 0,09 Ом/град.

Пусть средство измерения имеет СКО σ_Rt= 0,2 Ом. Тогда, проведя вычисления по формулам (2.60), получим:

σ_а= 0,33 Ом; σ_ь = 0,02 Ом/град. Окончательно имеем:

а + σ_а = (9,52 ± 0,33) Ом; b + σ_ь = (0,09 ± 0,02) Ом/град.

2.10. Погрешность и неопределенности измерения

После того, как все известные или предполагаемые состав­ляющие погрешности результата измерения оценены и внесены соответствующие поправки, все еще остается сомнение в том, что результат измерения близок к истинному значению измеряемой величины. Количественной мерой этого сомнения использовали понятие «погрешность измерения». Однако классификация по­грешности измерения на случайную и систематическую и имею­щиеся методы ее описания перестали по разным причинам удовлетворять ряду метрологических требований. Поэтому стали поступать предложения по совершенствованию этих представле­ний, обосновывавшиеся «несоответствием принципов оценива­ния погрешностей современным практическим задачам».

По инициативе ряда международных метрологических орга­низаций была предложена концепция нового представления ре­зультатов измерений. Ее суть проста: обработка результатов измерений практически везде проводится с использованием ап­парата теории вероятностей и математической статистики и везде погрешности разделяются на случайные и систематические. Од­нако модели погрешностей, значения доверительных вероятно­стей и формирование доверительных интервалов в разных странах заметно отличаются друг от друга, что затрудняет сличе­ние результатов измерений. Для устранения этих сложностей было разработано «Руководство по выражению неопределенно­сти в измерении» (Guide to the expression of uncertainty in measurement, ISO/TAG — /WG3, Geneva, June 1992). Его основ­ными положениями являются:

• запрет на использование таких понятий, как истинное и дей­ствительное значения измеряемой величины, погрешность, отно­сительная погрешность, точность измерения, случайная и систематическая погрешности;

• вместо термина «погрешность измерения» введено понятие «неопределенность измерения», трактуемое как «параметр, свя­занный с результатом измерения, характеризующий дисперсию значений, которые можно приписать измеряемой величине»;

• разделение составляющих неопределенности на два типа: А и В.
Неопределенности типа А можно количественно оценить

статистическими методами на основе многократных измерений и описать традиционными характеристиками — дисперсией или СКО. Взаимодействие неопределенностей типа А описывается коэффициентом взаимной корреляции.