Глава 09 -Политропный процесс (Головинцов А.Г., Юдаев Б.Н., Федотов Е.И. - Техническая термодинамика и теплопередача 1970)

Глава IX. ПОЛИТРОПНЫЙ ПРОЦЕСС

§ 45. Особенности политропного процесса

Всякий термодинамический процесс является результатом теплового или механического, или одновременно и теплового, и механического взаимодействия рабочего тела с окружающими его телами. Характер процесса определяется особенностями такого взаимодействия. Все рассмотренные выше процессы являлись простейшими, так как в течение каждого из них оставался постоян­ным один из параметров состояния.

Но можно представить, что процесс протекает так, что одно­временно изменяются все параметры рабочего тела. В течение такого процесса к рабочему телу подводится (отводится) теплота q, которая идет частично на изменение внутренней энергии рабочего тела, частично на производство внешней работы. Первую часть теплоты, участвующей в процессе, будем характеризовать коэффи­циентом а, вторую . Оба коэффициента выразим в долях от еди­ницы. Процессы в которых доля теплоты, идущая на изменение внутренней энергии, в течение всего процесса остается постоянной, носят название политропных.

Следовательно, характеристикой политропного процесса будет постоянство величины:

Последнее соотношение непосредственно вытекает из уравне­ния первого закона термодинамики. Очевидно, что

107

Для бесконечно малого политропного процесса коэффициент также должен быть постоянным. Тогда

В этом выражении с представляет собой теплоемкость в поли-тропном процессе.

§ 46. Уравнение политропного процесса

Для вывода уравнения политропы воспользуемся уравнениями первого закона термодинамики, записанными в форме

Если этот показатель считать постоянным, то интегрирование уравнения (163) дает

Полученное уравнение является уравнением политропы. Это уравнение имеет такой же вид, как и уравнение для адиабатного процесса. Поэтому все выражения, полученные из уравнения ади­абаты, будут аналогичны соотношениям для политропы.

В частности, соотношения между параметрами в начале и кон­це политропного процесса будут следующие:

109

Кроме постоянства коэффициента а, политропный процесс характеризуется постоянством теплоемкости и показателя полит­ропы. Все эти три величины оп­ределяют политропный процесс.

из уравнения (164) получаем

Решая это уравнение, найдем

Найдем работу политропного процесса (рис. 57):

но по уравнению (164) имеем

Вводя эти значения const в уравнение (166), получаем

Используя соотношение между параметрами, последнее урав­нение можно привести к одному из следующих видов:

Полученные выражения для вычисления работы в политроп-ных процессах, как и следовало ожидать, отличаются от аналогич­ных для адиабатного процесса только тем, что в них показатель адиабаты k заменен показателем политропы п.

§ 47. Обобщающее значение политропного процесса

Нетрудно показать, что все ранее рассмотренные основные процессы идеального газа при условии, что теплоемкость в них постоянна, являются частными случаями политропных процессов.

Действительно, при п = 0 уравнение (164) получит вид р = const, т. е. уравнение изобары.

Если п = 1, то политропный процесс переходит в изотермиче­ский, имеющий уравнение pv = const.

Адиабатный процесс будет при показателе политропы, равном показателю адиабаты, т. е. при п = k уравнение процесса будет pv^h = const.

Наконец, при п = ±∞ уравнением процесса явится уравнение v = const, которое легко получить, если уравнение (164) записать в виде

Таким образом, при п = ±∞ частным случаем политропного процесса будет изохорный процесс.

На рис. 58 в координатах р — v и Т — s приведены основные процессы, проходящие через одно и то же состояние, характери­зуемое точкой А. На каждой из линий приведено соответствующее значение показателя политропы.

Адиабата делит координатные плоскости обеих систем коорди­нат на две области:

Iq — область, лежащая в системе р — v выше адиабаты и в системе Т — s вправо от нее, характеризуется тем, что все про-

цессы, линии которых выходят из точки А и заканчиваются в этой области, протекают с подводом теплоты;

IIq — область, лежащая ниже адиабаты в системе р — V и влево от нее в системе Т — s, представляет собой область, в кото­рой процессы протекают с отводом теплоты.

Изотерма аналогично делит координатные плоскости на две области:

Iи — область, в которой процессы протекают с увеличением внутренней энергии;

IIи — область процессов, протекающих с уменьшением внут­ренней энергии.

§ 48. Соотношения между основными характеристиками политропных процессов

Установим связь между основными характеристиками поли­тропных процессов с, п и а.

из выражения показателя политропы (смотри выше) после преоб­разований будем иметь

Разделив в уравнении (174) числитель и знамена­тель на с_v, получим

Теплоемкость. Из уравнения (160)

Из последнего выражения видно, что теплоемкость при п = 1 принимает значение с = ±∞. Таким образом, в политропных процессах теплоемкость может прини­мать значения от плюс до минус бесконечности. На рис. 59 приведена зависи­мость теплоемкости в полит-ропном процессе от показа­теля политропы.

Как видно из графика, при значениях показателя политропы 1 < п < k, т. е. в процессах, расположенных между изотермой и адиабатой (рис. 59), теплоемкость отрицательна. Это означает, что при подводе теплоты температура газа уменьшается или же

111

при отводе теплоты повышается, т. е. в этих процессах знаки теп­лоты и приращения температуры различны. Такими значениями теплоемкости характеризуются процессы, в которых вследствие выполнения рабочим телом работы его внутренняя энергия падает на величину большую, чем она могла возрасти в результате под­водимой теплоты, или процессы, где отводимая от рабочего тела теплота по своей величине меньше работы, затрачиваемой на его сжатие. Последние процессы являются типичными для компрес­соров.

Разделим числитель и знаменатель на с_v . Тогда

Показатель политропы. По определению

Из уравнения (176) видно, что при с = c_v показатель поли-тропы п = ±∞, т. е. он может принимать, так же как и теплоем-кость, значения от плюс до минус бесконечности.

Коэффициент а. Из основного соотношения

Подставляя в выражение (178) выражение с из уравнения (175) получим

Если известна работа l, то из уравнения первого закона тер­модинамики

имеем

Учитывая, что

Из этих соотношений легко получить выражения их через а для случаев, когда известны q и Аu:

§ 49. Способы определения показателя политропы. Построение политропы

При решении многих практических задач часто приходится иметь дело с политропными процессами, представленными в виде графиков в координатах р — и или Т — s. Такие случаи встре­чаются, например, при исследовании тепловых процессов двига­телей и машин-орудий. Для анализа этих процессов бывает необ­ходимо определение показателя политропы п.

Существует много методов решения этой задачи. Ниже приво­дятся только некоторые из них. Помимо того, что эти методы применяют при решении практических задач, некоторые из них будут использованы в дальнейшем.

1. Процесс представлен кривой 1—2 в координатах р — v (см. рис. 57). Для процесса 1—2

При п = k (адиабатный процесс) коэффициент а = ±∞, т.е. ; политропных процессах коэффициент а может принимать значения от плюс до минус бесконечности.

Часто бывает удобно вычислять работу, теплоту и изменение внутренней энергии в политропных процессах через коэффициент а.

Логарифмируя это уравнение, получаем

113

Откуда

Известен также и следующий графический прием. Из начала координат под углом а к оси абсцисс и углом  к оси ординат про­водятся линии О А и 0В. Угол а выбирают произвольно, а угол  вычисляют из уравнения

2. Процесс представлен той же линией в координатах р — v см. рис. 57). В этом случае показатель политропы можно определить и как отношение площадей:

Из заданной точки I параллельно осям координат проводят линии 1а и 1с: первую до пересечения с осью ординат, вторую — со вспомогательной линией ОА. Из точки а и с проводятся линии аb и cd соответственно под углами 45° к осям координат. Получен­ные таким образом точки b и d определяют координаты второй точ-

Полученный результат представляет собой произведение по­казателя политропы п на работу политропического процесса, вы­раженную уравнением (167), т. е.