Наиболее изучены терагерцовые ККЛ на основе полупроводниковых AlGaAs -гетероструктур. В них электроны движутся поперек слоев под действием внешнего электрического поля в сложном потенциальном профиле. Этот профиль образован чередованием потенциальных ям и барьеров, отличающихся долей X алюминия в составе слоев Al_XGa_1–XAs.

Сначала по заданному профилю дна зоны проводимости поперек слоев СР методом матрицы переноса вычислялись энергии резонансных уровней E_n и соответствующие им волновые функции Ψ_n(x), где x – координата поперек слоев. Длина участка разбиения по x составляла 1 монослой GaAs (МС), т.е. 0,565 нм. Для поиска уровней E_n как корней уравнения M₂₂(Е_n) = 0 сначала сканировали весь диапазон энергий с шагом 0,1 мэВ, пока не встречался участок, на концах которого величина M₂₂(Е_n) имела разные знаки. Затем к этому участку применяли функцию «fzero» пакета МатLab. После нахождения всех уровней E_n и соответствующих им состояний Ψ_n(x) вычислялись дипольные матричные элементы D_nm по формуле D_nm= ∫dx·Ψ_m*(x)·x·Ψ_n(x). Затем вычислялись скорости переходов W_nm между состояниями вниз по энергии (n>m) с помощью формулы W_nm= K(E_nm)·|D_nm|², где K(Е) – феноменологический частотный множитель, зависящий заранее заданным образом от энергии перехода E_nm =E_n - E_m. После этого скорости переходов W_nm вверх по энергии (n<m) находили из условия W_nm.= W_km, где k = (n+M)mod(M), M – число уровней. Это условие означает, что в каждом периоде ККЛ уровни заполняются электронами, приходящими либо с вышележащих уровней этого же периода, либо из соседнего периода, расположенного выше по энергии. Затем по найденным скоростям перехода W_nm вычисляли парциальные лоренцевские ширины спектральных линий G_n как скорости уходов электрона из состояния n в любое другое состояние по формуле G_n.= h∑_mW_nm., где h - постоянная Планка. Отсюда находили полуширины спектральных линий переходов G_nm= G_n.+G_m. Далее по найденным скоростям W_nm решали стандартную систему кинетических уравнений dN_m/dt = ∑_nW_nmN_n для заселенностей N_m, пользуясь функцией «ode15s» пакета МатLab. Начальное равномерное распределение вычислялось как заданная слоевая концентрация легирующей примеси (3.6·10^‑4 1/нм²), деленная на число M уровней. Наконец, все найденные величины подставлялись в формулу (1) для нахождения коэффициента оптического усиления G(f) на заданной частоте f при заданной напряженности электростатического поля F

(1)

Здесь e – заряд электрона, с – скорость света, h – постоянная Планка, n_b= √13 – коэффициент преломления GaAs на терагерцовых частотах, L – длина одного периода ККЛ. Суммирование в (1) ведется по всем парам уровней, для которых энергии E_n > E_m. Энергия перехода E_n - E_m обозначена E_nm. Для переходов с энергией E предполагалась традиционная лоренцевская форма спектральной линии R_nm(E) = (G_nm/2π) / [E²+(G_nm/2)²].

1. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

Расчитать максимальное значение коэффициента оптического усиления на частоте 3 ТГц при наличии следующих требований:

1. Имеются 2 резонансных уровня с разностью заселенностей, равной четверти характерной слоевой концентрации легирующей примеси.

2. Волновые функции этих уровней имеют вид одинаковых гауссоид единичной высоты с расстоянием между центрами, равным удвоенной полуширине 10 нм.

3. Резонансно-туннельная прозрачность имеет лоренцевский вид с независящей от напряжения полушириной 0,1 мэВ и положением резонансного уровня, пропорциональным приложенному напряжению с коэффициентом пропорциональности 1/2.

4. Полуширина спектральной линии перехода 0,1 ТГц.

Оценить влияние толщин барьеров на форму частотно-полевой характеристики .

Оценить влияние толщины всей гетероструктуры на максимальное значение коэффициента оптического усиления.

1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

Рассчитать параметры слоев для калибровочной гетероструктуры квантового каскадного лазера и выбранной гетероструктуры.

Оценить характеристики других параметров, связанных с методом кинетических уравнений.

Запустить программу расчета и задать требуемые электрические и геометрические параметры гетероструктуры квантового каскадного лазера и окружающей среды.

Откалибровать программу на примере частотно-полевой характеристики эталонной гетероструктуры.

Рассчитать частотно-полевую характеристику выбранной гетероструктуры.

Построить графики и проанализировать полученные результаты.

1. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Каковы характерные значения полей, частот, коэффициента оптического усиления ККЛ?

2. Наглядный смысл и характерные значения факторов в формуле для коэффициента оптического усиления ККЛ.

3. Как изменится коэффициент оптического усиления, если разница заселенностей двух уровней поменяет знак?

4. Каковы характерные значения параметров спектральной линии?

5. Каковы пределы применимости формулы для скоростей переходов при описании оптического усиления ККЛ?

7.Работа №7. Исследование диэлектрофоретической сборки кластеров из металлических наночастиц методом функций Грина

Цель работы – изучение методики компьютерного моделирования диэлектрофоретической сборки кластеров из металлических наночастиц и закрепление теоретических знаний о методе функций Грина.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Диэлектрофорез наночастиц – один из перспективных нанотехнологических процессов, пригодный для изготовления изделий из наночастиц по двум основным направлениям нанотехнологии – «сверху-вниз» (нанопинцеты) и «снизу-вверх» (самосборка и самоорганизация). Диэлектрофорез микро- и наночастиц в жидкости образует основу новых технологических областей - микро- и нанофлюидики. Зондовый диэлектрофорез относится к зондовым нанотехнологическим методам и применяется, например, для сборки нанонитей из углеродных нанотрубок.

Различают два основных режима диэлектрофоретической сборки коллоидных наночастиц в разнообразные структуры – диффузионный и реакционный (D- и R-режимы). В D-режиме скорость сборки ветвистых структур почти не зависит от времени, что объясняется большим средним расстоянием между наночастицами (порядка 1 мкм) при характерных концентрациях коллоидных растворов. Это расстояние наночастица должна диффундировать, прежде чем она попадет в область действия диэлектрофоретической силы. R-режим проявляется в пороговом характере начала процесса сборки. На границе своей области действия диэлектрофоретическая сила должна превысить все остальные конкурирующие силы, например, броуновскую силу хаотического теплового движения (порядка 1 пН для частицы радиуса 5 нм).

Электростатическое поле в системе зонд-наночастицы-подложка рассчитывалось методом граничных элементов с применением функций Грина. Формула Грина (1) выражает потенциал V(r₀) в точке r₀ снаружи объема, ограниченного поверхностью S, через значения на этой поверхности самого потенциала V(r) и его нормальной производной ∂V(r)/∂n≡ F(r). Предполагается, что объемная плотность заряда во всех точках r₀ отсутствует.

(1)

Здесь G₀(r₀,r) – известное (2) фундаментальное решение уравнения Лапласа, зависящее только от расстояния |r₀–r | между точками r₀ и r, а H₀(r₀,r)≡ ∂G₀(r₀,r)/∂n– его нормальная производная в точке r на поверхности S, также известная функция точек r₀ и r.

(2)

Здесь c₀ ≡ –1/4π, а n– вектор нормали к поверхности в точке r. В нашем случае наночастиц между зондом и подложкой поверхность S состоит из отдельных поверхностей зонда S_t, подложки S_s и каждой из наночастиц S_n. Предполагаем, что наночастицы идеально проводящие и контактируют с поверхностью проводящей подложки. Поэтому все поверхности S - эквипотенциальные. Потенциалы V(r) на них известны и задаются внешним источником напряжения между зондом и подложкой.

По методу функций Грина мы заменяем в формуле (1) фундаментальное решение G₀(r₀,r) на такую функцию G(r₀,r) , которая не только имеет свойство «фундаментальности» функции G₀(r₀,r), но и обращается в ноль в точках r на поверхностях зонда S_t и подложки S_s . Тогда неизвестная напряженность F(r) в правой части (1) останется только в интеграле по поверхностям наночастиц S_n (7).

(7)

Здесь H(r₀,r)≡ ∂G(r₀,r)/∂n –нормальная производная функции Грина G(r₀,r) в точке r на поверхности S. Так число линейных уравнений в методе граничных элементов уменьшается до числа N_n элементов, располагающихся только на поверхностях наночастиц S_n, но не на поверхностях зонда и подложки.

После нахождения нормальной компоненты E напряженности электрического поля на поверхности каждой частицы диэлектрофоретическая сила F(m) m-ой частицы вычислялась с помощью известного выражения для максвелловского тензора напряжений.

Здесь использовалось предположение об идеальной проводимости частиц, согласно которому вектор напряженности E электрического поля на поверхности направлен вдоль нормали n. После разбиения поверхностей частиц на граничные элементы интеграл в этом выражении вычислялся как сумма по всем элементам.

1. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

Расчитать значение диэлектрофоретической силы, действующей на элемент поверхности наночастицы при наличии следующих требований:

1. Площадь элемента 10 нм².

2. Напряженность электрического поля в центре элемента 1 В/нм.

3. Диэлектрическая проницаемость среды 80.

Оценить влияние размера наночастицы на диэлектрофоретическую силу.

Оценить влияние параметров зонда на диэлектрофоретическую силу.

1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

Рассчитать параметры функций Грина для калибровочной структуры зонда и выбранных наночастиц.

Оценить характеристики других параметров, связанных с методом функций Грина.

Запустить программу расчета и задать требуемые электрические и геометрические параметры зонда и выбранных наночастиц.

Откалибровать программу на примере электростатического потенциала эталонной структуры зонда.

Рассчитать диэлектрофоретические силы для выбранной конфигурации зонда и наночастиц.

Построить графики и проанализировать полученные результаты.

1. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Каковы характерные значения напряжений, полей, диэлектрофоретической силы?

2. Наглядный смысл и характерные значения факторов в формуле для распределения потенциала в методе функций Грина.

3. Как изменится диэлектрофоретическая сила, если напряжение на зонде поменяет знак?

4. Каковы характерные значения параметров в формуле для диэлектрофоретической силы?

5. Каковы пределы применимости формулы для диэлектрофоретической силы?

8.Работа №8. Исследование диэлектрофоретической сборки наноколец методом молекулярной динамики

Цель работы – изучение методики компьютерного моделирования диэлектрофоретической сборки наноколец из металлических наночастиц и закрепление теоретических знаний о методе молекулярной динамики.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

С помощью жидкостного диэлектрофореза можно собирать разнообразные структуры из наночастиц в коллоидных растворах. Под действием диэлектрофоретической силы незаряженные проводящие наночастицы дрейфуют в область максимальной напряженности электрического поля и слипаются в прочные структуры разнообразной формы – от нанонитей и цепочек до ветвистых «деревьев». При диэлектрофоретической сборке наноструктур основным препятствием упорядочению собираемых элементов является броуновская сила F_B хаотического теплового движения наночастицы, равная примерно 1 пН для наночастицы радиуса R= 5 нм. Кроме броуновского движения наночастиц сборке препятствуют электрогидродинамические потоки в окружающей жидкости, процессы электрохимического окисления наночастиц, а также неконтролируемое слипание наночастиц в комки из-за Ван дер Ваальсовского притяжения при сближении частиц до зазора порядка 1 нм.