045-1 Продолжение Главы 3 Дельта функция (Лекционный курс), страница 4

Для четных зон, например, зоны B, перенос спектра также происходит в зону A, но в результате спектр оказывается «перевернутым». Это может быть легко скомпенсировано простым изменением индексов при дальней цифровой обработке спектров.

Рис. 3.8. Перенос спектров

Во всяком случае, следует соблюдать правило, согласно которому исходный спектр сигнала должен занимать полосу частот в пределах одной зоны.

Функция, уже встречавшаяся ранее, вида:

(3.110)

обладает следующими двумя свойствами:

1) в точке t=nT _n(nT)=1, а в точках t=kT, где k - любое целое число, отличное от n, _n(nT)=0;

2) спектральная плотность функции ₀(t) равномерна в полосе частот ||<_m и равна T=1/2f_m=/_m. Так как функция _n(t) отличается от ₀(t) только сдвигом по оси времени на nT, то спектральная плотность функции _n(t):

(3.111)

То, что ряд Error: Reference source not found точно определяет заданный сигнал s(t) в точках отсчета, не требует дополнительных доказательств, поскольку коэффициентами ряда являются сами выборки из функции, то есть величины s(nT).

Можно доказать, что ряд Error: Reference source not found определяет функцию s(t) в любой момент t, а не только в точках отсчета t=nT.

Воспользуемся для этого общими правилами разложения функции по ортогональной системе. В данном случае разложение производится по функциям _n вида Error: Reference source not found, для которых интервал ортогональности равен бесконечности, а норма, в соответствии с Error: Reference source not found:

Не предрешая заранее значения коэффициентов ряда Error: Reference source not found, применим для их определения общую формулу Error: Reference source not found, справедливую для обобщенного ряда Фурье:

(3.112)

При этом исходим из условия, что s(t) -квадратично-интегрируемая функция (то есть энергия сигнала конечна). Для вычисления интеграла в выражении Error: Reference source not found воспользуемся формулой о спектре произведения сигналов Error: Reference source not found:

(3.112')

Пределы интегрирования здесь приведены в соответствии с граничной частотой _m спектра сигнала, а также спектра функции _n(t).

Интеграл в правой части с коэффициентом 1/2 есть ни что иное, как значение s(t) в моменты t=nT. Таким образом,

Подставляя этот результат в Error: Reference source not found окончательно получаем:

Следовательно, коэффициентами ряда Error: Reference source not found являются выборки функции s(t) в точках t=nT.

Поскольку ограничение спектра конечной наивысшей частотой обеспечивает непрерывность функции s(t), ряд Error: Reference source not found сходится к функции s(t) при любом значении t.

Соотношение между спектром S() сигнала s(t) и спектром Ф_n() базисной функции _n(t) при T=/_m иллюстрируется Рис. 3 .9 а и б.

Рис. 3.9. Соотношения спектров

Если взять интервал T' между выборками меньше, чем T=/_m, то ширина 2_m' спектра _n'() базисной функции _n'(t) будет больше, чем ширина спектра S() (см. Рис. 3 .9 в).

Это повышает точность представления сигнала s(t), так как исключается возможность неучета "хвостов" спектра S() вне граничных частот _m; кроме того, ослабляются требования к АЧХ фильтров, восстанавливающих непрерывный сигнал.

При увеличении же T'' по сравнению с T спектр  _n''() функции _n''(t) становится уже, чем спектр сигнала s(t) (см. рис. г), и при
вычислении интеграла в Error: Reference source not found пределы
интегрирования должны быть изменены на
[-_m'',_m''] вместо [-_m,_m].

Коэффициенты C_n при этом являются уже выборками не заданного сигнала s(t), а некоторой другой функции, спектр которой ограничен наивысшей частотой _m''<_m. Так возникают частотные искажения дискретизации, известные как эффекты наложения спектров или алайзинга.

Соотношения Error: Reference source not found - Error: Reference source not found показывают, как можно при дискретизации сигнала сохранить всю информацию, содержащуюся в нем. Эти соотношения позволяют обоснованно выбрать частоту дискретизации и при необходимости по дискретным отсчетам полностью восстановить исходный сигнал.

Однако практически реализовать точное восстановление сигнала с помощью ряда Котельникова невозможно. Дело в том, что сигнал с ограниченным спектром - это сигнал, длящийся бесконечно долго. При его дискретизации будет получено бесконечное число отсчетов s(nT). Для восстановления исходного сигнала s(t) в произвольный момент времени t нужно учитывать не только все отсчеты, предшествующие этому моменту, но и все последующие отсчеты.

Иначе говоря, восстановление непрерывного сигнала по Котельникову возможно только после получения всех отсчетов сигнала, что не представляется возможным в виду неограниченной длительности сигнала.

Тем не менее, полученные результаты
могут использоваться для приближенного определения целесообразного интервала
дискретизации T и для приближенного восстановления сигнала по совокупности его дискретных отсчетов. В теоретическом же плане эти результаты имеют фундаментальное значение.

Существует еще один способ восстановления дискретных сигналов в непрерывную форму, основанный на использовании дискретного преобразования Фурье и рядов Фурье – т.н. дискретные ряды Фурье. Этот путь отличается от ряда Котельникова тем, что подразумевается периодичность дискретных сигналов.

Теперь рассмотрим случай, когда длительность сигнала s(t) конечна и равна T_c, а полоса частот по-прежнему равна _m.

Хотя эти условия несовместимы, практически всегда можно определить наивысшую частоту спектра _m так, чтобы "хвосты" функции времени, обусловленные отсеканием частот, превышающих _m, содержали пренебрежимо малую долю энергии по сравнению с энергией исходного сигнала s(t). При таком допущении, для сигнала длительностью T_c и с полосой частот _m общее число независимых параметров, то есть значений s(nT), которое необходимо для полного задания сигнала, очевидно будет равно

при этом выражение для ряда Error: Reference source not found принимает следующий вид:

(3.113)

Число N иногда называют числом степеней свободы сигнала s(t), так как даже при произвольных значениях s(nT), сумма Error: Reference source not found определяет функцию, удовлетворяющую условиям заданного спектра и заданной длительности сигнала. Число N иногда называют также базой сигнала.

Энергию и среднюю мощность сигнала нетрудно выразить через заданную последовательность временных выборок. Используя формулы Error: Reference source not found, Error: Reference source not found и равенство ||_n||²=T, получаем:

Из последнего выражения видно, что средняя за время T_c мощность непрерывного сигнала равна среднему квадрату выборок, число которых равно N.

В качестве наглядного примера проведем сравнение двух методов восстановления сигнала по его дискретным отсчетам. На практике часто применяют линейную интерполяцию.

Предположим, что при восстановлении сигнала нужно с заданной точностью воспроизвести все гармоники спектра, вплоть до некоторой верхней частоты f_m.

При линейной интерполяции соединяют отрезками прямых соседние точки дискретного сигнала. При этом наибольшая погрешность будет получена там, где модуль второй производной функции максимален.

Для синусоиды с максимальной частотой наибольшая погрешность будет наблюдаться в районах экстремумов. Если два соседних отсчета располагаются симметрично относительно точки экстремума, то линейный интерполирующий отрезок пройдет горизонтально и погрешность может быть найдена как разность между амплитудой синусоиды А и ее значением, соответствующим одному из этих двух отсчетов (см. Рис. 3 .10).

t

Рис. 3.10. Оценка погрешности

Поэтому при линейной интерполяции наибольшая относительная погрешность  восстановления синусоиды с частотой f_m будет:

Здесь N=1/f_mT_д - отношение периода синусоиды 1/f_m к шагу дискретизации T, при этом предполагается, что N>>1. При заданной допустимой погрешности восстановления _д требуемый интервал дискретизации может быть определен по формуле:

Отсюда следует, что при допустимой погрешности восстановления 1%, требуется 22 отсчета на один период самой высокочастотной гармоники сигнала.

Итак, при использовании линейной интерполяции с 1% погрешностью восстановления наивысшей значимой гармоники сигнала требуется устанавливать частоту дискретизации f_д в 22 раза большей, чем частота этой гармоники.

При восстановлении же по Котельникову, частота дискретизации должна быть всего лишь в 2 раза больше частоты наивысшей гармоники, при этом эта гармоника теоретически восстанавливается без погрешности.

Но линейная интерполяция реализуется весьма просто технически, а кроме того, позволяет воспроизводить исходную кривую непосредственно в процессе эксперимента. Восстановление же по Котельникову, как уже указывалось, возможно только после получения всех точек исследуемой кривой. Именно поэтому чаще отдают предпочтение линейной интерполяции.

3.19.Теорема отсчетов в частотной области

Иногда сигнал необходимо представить с помощью частотных выборок спектральной функции , а не временных выборок функции s(t). Для спектра можно составить ряд, аналогичный выражению . Для этого базисная функция должна быть заменена функцией: