31

Глава

6.

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Теория случайных процессов занимает важное место при моделировании динамических характеристик функционирования систем. Всегда, когда есть временной фактор и случайное воздействие внешней среды на систему - тогда есть модель в виде случайного процесса (случайной последовательности).

В главе приводится классификация случайных процессов с точки зрения временного фактора и свойств пространства состояний, даются основные положения теории случайных процессов и последовательностей. Основное внимание уделено прикладным аспектам использования теоретических положений, а именно:

• анализ стационарности и сезонности;

• оценивание автокорреляционной и кроскорреляционной функций;

• прогнозирование и сглаживание временного ряда.

Перечисленные задачи имеют полезные практические использования при анализе деятельности предприятий.

1 Классификация случайных процессов

Пусть (,F,P) - некоторое вероятностное пространство и T - множество значений параметра. Случайным процессом называется конечная вещественная функция (t,), которая при каждом фиксированном tT является измеримой функцией от .

Таким образом, случайный процесс может быть определен математически как функция двух переменных t и , причем (t,) при каждом фиксированном значении t является измеримой функцией элементарного события , т.е. случайной величиной.

С другой стороны, (t,) для каждого фиксированного элементарного события  в данном вероятностном пространстве становится функцией от t, определенной для всех tT. Иначе говоря, каждому исходу  соответствует однозначно определенная функция от t. В соответствии с этим каждая функция (t) называется реализацией или траекторией, или выборочной функцией случайного процесса.

В табл.1. приведена классификация по типам временного параметра и пространства состояний.

Таблица

6.1.

Типы случайных процессов

Тип	T	S	Название
1	Н	Н	Непрерывный процесс
2	Д	Н	Непрерывная последовательность
3	Н	Д	Дискретный процесс
4	Д	Д	Дискретная последовательность
5	Н	Н+Д	Смешанный процесс

Выборочная функция (t) может рассматриваться как "точка" в пространстве X всех конечных вещественных функций x(t) переменного tT. Пространство X называется пространством выборочных функций или выборочным пространством случайного процесса.

Основные признаки, по которым различают случайные процессы, касаются природы пространства состояний S (т.е. области значений выборочных функций), временного параметра T и отношения зависимости между случайными величинами (t).

Простейшим примером случайного процесса является последовательность независимых случайных величин. Если, к тому же, эти величины имеют нормальное распределение, то такая последовательность называется "белым шумом".

Важной чертой случайного процесса (,t) является зависимость между случайными величинами (t). Характер этой зависимости определяется заданием совместных функций распределения для каждого конечного семейства (t₁), (t₂),..., (t_n) случайного процесса.

а) Процессом с независимыми приращениями называется процесс, для которого случайные величины, представляющие разности исходных величин в соседние моменты времени:

(t₂)- (t₁) ; . . . , (t_n)- (t_n-1)

независимы для всех значений t₁< t₂... < t_n-1 < t_n.

б) Марковский процесс - это процесс, обладающий свойством независимости значение значений (s), s>t, от (u), u<t при известном (t). Другими словами, вероятность любого события, связанного с будущим поведением процесса, при условии, что его настоящее точно известно, не изменится, если учесть дополнительную информацию о прошлом процесса.

Формально, процесс является марковским, если:

P(a<(t)<b|(t₁),..., (t_n-1), (t_n))= P(a<(t)<b|(t_n)) для t₁< t₂...< t_n.

в) Случайный процесс (t) называется стационарным в узком смысле, если он инвариантен к временному сдвигу:

P((t₁+u),..., (t_n+u))= P((t₁),..., (t_n)) u.

г) Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если моменты второго порядка конечны и не зависят от сдвига временного фактора:

cov((t),(t+u))= cov((0),(u)), t,u

т.е. ковариация зависит лишь от разности временного параметра.

На практике более часто встречаются более общие типы случайных процессов. В общем случае они не являются стационарными. Однако теоретические положения полученные для стационарных процессов в частных случаях могут быть использованы для реальных процессов (нестационарных). При моделировании процессов выделяют различные группы нестационарности.

Большой класс нестационарных процессов можно представить в виде:

(t)=a(t)(t)+m(t),

где a(t) и m(t) - неслучайные функции времени а (t) - стационарный процесс.

Процесс нестационарный по среднему может быть получен из общего представления, если a(t)=Const.

Statistica. В процессе формирования новой автоколонны, когда объемы перевозок еще не определены достаточно ясно, наступает так называемый переходный режим. На рис._ приведен график объемов перевозок для вновь сформированной автоколонны по дням.

Процесс, нестационарный по среднему

Рис.

6.1.

Из графика явно видна тенденция возрастания среднего значения объемов с течением времени, это объясняется стабилизациией функционирования автоколонны и выхода на ее оптимальные объемы перевозок. Однако случайный характер заказов и техническое состояние автопарка накладывают колебания на тренд объемов.

Statistica. В процессе формирования новой автоколонны, когда объемы перевозок еще не определены достаточно ясно, наступает так называемый переходный режим. На рис._ приведен график средних объемов перевозок некоторой автоколонны по месяцам.

Из графика виден некоторый сезонный характер объемов. Такой процесс также относится к нестационарным процессам по среднему, однако задачи выделения тренда определяются из априорного предположения существования сезонной составляющей (например – год, месяц и др).

Сезонный характер объемов перевозок

Рис.

6.2.

Процессы нестационарные по дисперсии получаются при m(t)=Const, a(t)Const.

Statistica. Если рассматривать состояние технической готовности автопарка, то наблюдается нестационарный характер по дисперсии. На рис._ приведен график коэффициента технической готовности одной из автоколонн.

Процесс, нестационарный по дисперсии

Рис.

6.3.

Из графика видно, что в начальный момент при введении автопарка и проведения профилактических работ состояние технической готовности имеет весьма значительный разброс, с течением времени этот показатель стабилизируется и выходит на некоторый фиксированных разброс (график приведен в процентном соотношении отклонения от среднего значения на всем периоде анализа).

На практике также встречаются и процессы с другими видами нестационарности. Процессы нестационарные по спектральной плотности (корреляционной функции), изменяют свои частотные свойства во времени. Процессы могут быть нестационарными по одномерной плотности распределения, когда последняя меняется во времени. Такие процессы встречаются в нестационарных нелинейных системах, когда нелинейные характеристики отдельных блоков зависят от времени. Процессы со сложными видами нестационарности трудно охарактеризовать общими свойствами, поэтому практические реализации процедур анализа основываются, в основном, на приведенном выше классе случайных процессов.

2 Общая теория случайных процессов

В данной главе приводятся основные теоремы и утверждения относительно свойств выборочных функций процессов и случайных процессов в целом. Следует делать различие между реализацией процесса и процессом. Свойства, которые выполняются для процесса, не обязательно выполняются для выборочной функции и наоборот.

3Аналитические свойства выборочных функций

Ниже приводятся формулировки теорем о непрерывности и дифференцируемости выборочных функций, имеющие конструктивный характер.

Анализ непрерывности выборочных функций может быть проведен на основании следующей теоремы.

Теорема. Пусть (t) - случайный процесс на 0t1. предположим, что для всех t, t+h из отрезка [0,1]:

P{|(t+h)-(t)|g(h)}q(h),

где g и q - четные функции от h, невозрастающие при h0 и такие, что:

тогда для (t) существует эквивалентный случайный процесс (t), выборочные функции которого с вероятностью 1 непрерывны на отрезке [0,1].

Анализ дифференцируемости выборочных функций реализуется на основании теоремы.

Теорема. Пусть выполнены условия теоремы о непрерывности и, кроме того, для всех t-h, t, t+h из отрезка [0,1]:

P{|(t+h)-(t-h)-2(t)|g₁(h)}q₁(h),

где g₁ и q₁ - четные функции от р, невозрастающие при h0 и такие, что:

тогда для (t) существует эквивалентный случайный процесс (t), выборочные функции которого с вероятностью 1 дифференцируемы на отрезке [0,1].

4 Процессы с конечными моментами второго порядка

Рассмотрим комплекснозначный случайный процесс (t) = (t) + i(t).

Средним значением процесса называется M(t) = M(t) + iM(t).

Разность (t)-M(t) - также представляет случайный процесс, поэтому без ограничения общности можно рассматривать лишь процессы с нулевым средним.

Ковариационная функция r(t,u) процесса (t) есть смешанный момент r(t,u) = .

Из определения видно, что ковариационная функция обладает эрмитовым свойством . В частном случае, когда процесс (t) вещественный, ковариационная функция удовлетворяет соотношению r(t,u)=r(u,t).

Утверждение. (неотрицательная определенность ковариационной функция). Пусть t₁, ... , t_n - любое конечное число точек и z₁,…,z_n - произвольные комплексные числа. Тогда эрмитова форма

всегда вещественна и неотрицательна.

Свойство неотрицательной неопределенности является характеристическим свойством класса всех ковариационных функций. Это означает, что если какая-нибудь функция r(t,u) обладает этим свойством, то можно найти случайный процесс (,t), для которого она будет ковариационной функцией.

В случае процессов с конечными моментами второго порядка также можно говорить о непрерывности и дифференцируемости, однако в среднеквадратическом понимании.

Случайная функция (,t) непрерывной в среднем квадратическом в точке t₀, если она удовлетворяет условию:

.

Если это соотношение выполняется во всех точках отрезка [a,b], то функция (,t) называется непрерывной в среднем квадратическом на отрезке [a,b].

Утверждение.

1. (,t) непрерывна в ср.кв. в точке t=t₀ тогда и только тогда, когда ковариационная функция r(t,u) непрерывна в точке t=u=t₀ .

2. Если r(t,u) непрерывна в каждой точке диагонали t=u, то она непрерывна всюду.

Непрерывность в среднем квадратическом не влечет за собой непрерывность выборочных функций.

Дифференцируемость в среднем квадратическом определяется на основании введения свойств производной процесса.

Случайный процесс ’(,t) называется производной случайного процесса (,t) в точке t, если:

Производные высших порядков определяются аналогично. Связь с частными производными функции r(t,u) высших порядков остается такой же.