Из графика видно, что характер автокорреляции совершенно иной. Имеется очень сильная зависимость на протяжении полугода. Это говорит о направленном поддержании технической готовности после проведений профилактических работ.

Исходя из определения кроссковариационной функции (R(n)=M_n+k_k) в качестве оценки кроссковариационной функции по результатам N наблюдений x₁,…,x_N берут величину . Кросскорреляционная функция является номированной кроссковариационной, также как и автокорреляционная.

Если автокорреляция определяет внутреннюю связность процесса в разнесенные моменты времени, кросскорреляционная функция определяет внешнюю связность, т.е. как один процесс влияет на другой через определенные временные интервалы.

Statistica. Построим кросскорреляционную функцию (рис. __) фактических объемов перевозок для колонн 151 и 155.

Из графика видно, что существует значительная положительная корреляция (0.87) со сдвигом на 4-5 месяцев, хотя в одном и том же месяце корреляции не наблюдается. Это можно интерпретировать как эффект передачи объемов перевозок. Увеличение объема у 151 колонны влечет последующее увеличение объема через 4-5 месяцев. В результате эти колонны можно рассматривать как партнерские.

Положительная кросскорреляция

На рис.__ приведена кросскорреляционная функция объемов перевозок между 151 и 156 колоннами.

Отрицательная кросскорреляция

В данном случае наблюдается совершенно противоположная картина. Хотя в один месяц корреляция практически отсутствует, но спустя 4-5 месяцев она становится значительной, но отрицательной. Увеличение объемов одной колонны можно обосновать за счет уменьшения объемов другой. Эти колонны можно рассматривать как противодействующие и работающие с одним контингентом заказчиков. А отрицательная корреляция определяет меру конкурентной борьбы за заказы.

8 Спектральное представление

Спектральное представление, как отмечалось выше, очень удобно для представления случайного процесса. С другой стороны, решение некоторых задач, связанных с преобразованием случайных процессов, также носит более наглядный характер с использованием спектрального представления.

9 Спектральное представление ковариационной функции.

Выше отмечалась полезность представления случайного процесса в виде гармоник. Аналогичное представление может быть получено для ковариационной функции случайной последовательности.

Почти периодическая последовательностью называется последовательность вида:

,

где z₁, ... , z_N - ортогональные случайные величины (Mz₁z_N=0, ij ) с нулевыми средними Mz_i=0 и M|z_i|²=²>0; -, k=1,...,N, _i_j ij. Данная последовательность  является стационарной и имеет ковариационную функцию вида .

Предположим, что и ряд сходится. Тогда ряд для ковариационной функции будет сходится в среднем квадратическом. Введем функцию . Тогда ковариационная функция может быть записана в виде интеграла Лебега-Стильтьеса

Стационарные последовательности образованы как суммы "гармоник" с "частотой" _k и случайными амплитудами z_k интенсивности _k²=M|z_k|²

Таким образом, знание функции F() дает исчерпывающую информацию о структуре "спектра" последовательности , т.е. о величине интенсивностей, с которыми те или иные частоты входят в представление последовательности. Знание функции F() полностью определяет также и структуру ковариационной функции R(n). С точностью до постоянного множителя (невырожденная) функция F() является, очевидно, функцией распределения, причем в рассматриваемом примере эта функция кусочно-постоянна.

Ковариационная функция любой стационарной в широком смысле последовательности может быть представлена в виде:

.

Белый шум. Пусть ={_n} - последовательность ортонормированных случайных величин, M_n=0, M_n_k=_nk, где _nk - символ Кронекера. Такая последовательность является стационарной и

Такая ковариационная функция может быть представлена в виде интеграла:

где

Statistica. Построим оценку ковариационной функции белого шума. выполнив пункт ‘Autocorrelation”, указав в качестве исследуемой переменной, сгенерированную модельную последовательность независимых случайных величин. На рис.8. представлен график полученной оценки ковариационной функции.

Автокорреляция "Белого шума".

Из рисунка видно, что автокорреляция практически равна нулю. Отклонение от нуля появляется за счет статистической погрешности и ограниченности длины выборки.

Последовательность скользящего среднего (двусторонняя). Отправляясь от "белого шума" образуем новую последовательность

,

где a_k - комплексные числа, такие, что .

В силу равенства Парсеваля справедливо тождество

.

Поэтому {}_n является стационарной последовательностью образованной с помощью двустороннего скользящего среднего из последовательности _n.

Одностороннее скользящее среднее. Эта последовательность является частным случаем последовательности двустороннего скользящего среднего, кода a_k=0 k<0, т.е. . В данном случае последовательность _n будет также стационарной.

Скользящего среднего порядка p. Эта последовательность является частным случаем последовательности одностороннего скользящего среднего. Лишь конечное число p значений a_k отлично от нуля, т.е.

_n=a₀_n+a₁_n-1+…+a_p_n-p.

Для скользящего среднего порядка p ковариационная функция имеет вид:

.

Спектральная плотность определяется выражением

,

где P(z)=a₀+a₁z+…+a_pz^p.

Теорема. (Герглотц). Пусть R(n) - ковариационная функция стационарной (в широком смысле) случайной последовательности с нулевым средним. Тогда на отрезке [-,] с алгеброй B[-,] найдется такая конечная мера F=F(B), что n .

Общее характеристическое свойство ковариационных функций в случае стационарных процессов сводится к соотношению:

.

Теорема (Бохнер). Функция r(t) неотрицательно определена тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде

,

где F() - вещественная, неубывающая и ограниченная функция.

Это представление можно рассматривать как спектральное представление функции r(t).

Неубывающая функция F() называется спектральной функцией процесса (t). Эта функция определена с точностью до постоянного слагаемого, поэтому всегда можно положить, что F(-)=0, F(+)=r(0).

Если F() абсолютно непрерывна, то производная f()=F’() называется спектральной плотностью процесса (t).

Теорема. Для любого стационарного процесса (t) существует такой процесс с ортогональными приращениями (), что (t) для каждого фиксированного t допускает спектральное представление где стохастический интеграл понимается как интеграл в среднем квадратическом. Процесс () определен с точностью до аддитивной случайной величины. Если потребовать дополнительно, чтобы (-)=0 , то будут выполняться соотношения:

.

Определение. Спектральным моментом k-го порядка называется величина. . Моменты могут быть как конечными, так и бесконечными.

Утверждение. Момент _2k конечен тогда и только тогда, когда r(t) имеет производную порядка 2k в точке t=0.

10 Линейные операции над стационарными процессами

Пусть (t) стационарный процесс с нулевым средним, представленный в виде:

.

Операция L, переводящая процесс (t) в некоторый новый случайный процесс является простейшим примером линейной операции над (t).

Используя спектральное представление (t), получаем

, где .

Можно отметить, что процесс (t) также стационарный и ковариационная функция процесса (t) равна

.

Если (t) имеет спектральную плотность f(), то спектральная плотность процесса (t) будет |g()|²f(). Таким образом, если процесс (t) строится из элементарных гармонических колебаний e^itd(), то для процесса (t) соответствующие гармонические колебания примут вид g()e^itd(). Функция g() называется частотной характеристикой линейной операции.