ЛЕКЦИЯ 07 (Электронные лекции)

ЛЕКЦИЯ 7

ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (продолжение)

7.1. Резонаторы с произвольными сферическими зеркалами

В силу предельности и фундаментальности гауссова пучка он устойчив к незначительным изменениям пространственной конфигурации поля. Используя этот факт, возьмем зеркала такой формы, чтобы они повторяли форму фронта пучка в данном месте. Поскольку в параксиальном приближении фронт гауссова пучка в каждой точке z можно рассматривать как сферический, зеркала следует взять сферическими и расположить их там, где кривизна фронта совпадает с кривизной зеркала.

Это позволяет использовать полученные для симметричных конфокальных резонаторов результаты для анализа резонаторов с произвольными сферическими зеркалами.

Для начала рассмотрим резонаторы с зеркалами, имеющими одинаковый радиус кривизны R. В этом случае нам необходимо определить длину эквивалентного симметричного конфокального резонатора. Для этого воспользуемся формулой (5.10), которую запишем в виде

(7.1)

где L – длина исследуемого резонатора.

Тогда

(7.2)

Структура распределения поля собственных типов колебаний будет такой же, как в эквивалентном резонаторе. Однако изменение расстояния между зеркалами приводит к изменению выражения для собственных частот резонатора, которые определяются уже формулой (6.4), из которой видно, что по сравнению с симметричным конфокальным резонатором вырождение частично снимается и спектр собственных частот становится более сложным.

Потери для мод в рассматриваемом резонаторе будут такими же, как в эквивалентном конфокальном резонаторе, если выполняется соотношение

(7.3)

Величина r_1/e может быть рассчитана по формуле (6.7).

Аналогичным образом может быть проведено рассмотрение резонаторов с произвольными сферическими зеркалами.

В этом случае поперечник основной моды резонатора будет определяться формулой

(7.4)

где R_i, R_k - радиусы кривизны i и k ( i, k =1,2, i ≠ k ) зеркал резонатора.

Из (7.4) следует, что в случаях L→R_i, или L→R₁ +R₂ размер пятна на одном или обоих зеркалах стремится к бесконечности.

Физический смысл этой особенности означает, что конфигурация поля не может рассматриваться как устойчивая (в гауссовом смысле). Соответственно, резонаторы, для которых выполняются условия

R1<L<R2, L>R1+R2, (7.5)

называют неустойчивыми. К их числу относятся и резонаторы, образованные выпуклыми зеркалами (рисунок 7.1). Видно, что долго распространяться в резонаторе могут только волны, распространяющиеся строго вдоль оси резонатора. Малейшее отклонение от этого направления (а оно неминуемо уже в силу дифракции) приведет к выходу волны из резонатора наружу.

Рисунок 7.1. Неустойчивый резонатор, образованный выпуклыми зеркалами.

7.2. Диаграмма устойчивости резонаторов.

Для рассмотрения характеристик резонаторов с различной геометрией удобно воспользоваться параметрами g_i=1-L/R_i, где i=1,2 (см. рисунок 7.2)

Рисунок 7.2. Диаграмма устойчивости резонаторов.

В плоскости g_i области, в которых выполняются неравенства, обратные (7.5), ограничены осями координат и гиперболой g₁g₂=1 и называются областями устойчивости оптических резонаторов. На рисунке 7.2 эти области заштрихованы.

Обратимся к конкретным случаям геометрии резонаторов, характеризующихся определенными точками на диаграмме устойчивости.

Конфокальный резонатор, (g₁=0, g₂=0) расположен на границе устойчивости (рисунок 7.3).

Малейшая асимметрия выводит резонатор в область неустойчивости.

Полуконфокальный резонатор L=R₁/2, R₂=∞ (g₁=0,5, g₂=1), который должен иметь с точки зрения поперечного распределения такие же характеристики, как симметричный конфокальный, оказывается в устойчивой области (рисунок 7.4).

Физически это можно истолковать так, что сферическое зеркало, «смотрясь» в плоское, «видит само себя». Плоское зеркало располагается как раз в перетяжке гауссова пучка (мы помним, что в перетяжке фронт плоский). Такая конфигурация зеркал удобна, во-первых, для реализации наименьшего размера пучка на выходе лазера (плоское зеркало делают выходным, сферическое – глухим), во-вторых, для удобства определения размера перетяжки по пятну на выходном зеркале. Поэтому полуконфокальный резонатор нашел весьма широкое практическое применение.

Плоскопараллельный резонатор, или резонатор Фабри-Перо (g_{2 =} 1, g₂ = 1) также попадает на границу устойчивости, что также физически ясно ― малейшее отклонение распространения волны от направления, перпендикулярного плоскости зеркал, приводит к быстрому выходу волны из резонатора.

Симметричный концентрический резонатор L=2R₁ =2R₂ (g_{2 =} -1, g₂ = -1), в котором совпадают центры кривизны зеркал, снова попадает на границу устойчивости (рисунок 7.5), так же, как и полуконцентрический резонатор L=R₁, R₂=∞ (g₁=0, g₂=1).

Концентрический резонатор имеет наибольшую возможную при заданных радиусах кривизны зеркал длину. Несмотря на то, что такая конфигурация кажется на первый взгляд далекой от оптимальной, она нашла довольно частое практическое применение.

В самом деле, увеличение угла расходимости пучка не является однозначно отрицательным явлением, поскольку одновременно улучшает условия селекции мод. Используя аналогию с угловой дисперсией спектральных приборов, можно с успехом выделять как основную моду, имеющую минимальный поперечник на выходном зеркале, так и, в случае необходимости, моды более высоких порядков. С другой стороны, увеличение длины резонатора позволяет, вообще говоря, использовать и бόльшую длину активного элемента, следовательно, получать выигрыш в выходной мощности. Таким образом, конфигурации резонаторов, близкие к полуконцентрической, часто используются в лазерах, особенно в тех случаях, когда требуется получить повышенное сосредоточение выходной мощности в одной моде.

7.3. Неустойчивые резонаторы (геометрическое приближение)

Резонаторы, для которых выполняются условия (7.5), называют неустойчивыми.

Физический смысл этого термина можно понять, если учесть, что к их числу относятся и резонаторы, образованные выпуклыми зеркалами (рисунок 7.5). Видно, что долго распространяться в резонаторе могут только фотоны, двигающиеся по оси резонатора. Малейшее отклонение от этого направления (а оно неминуемо уже в силу дифракции световой волны) приведет к вытеснению их из резонатора из-за его геометрии.

П ервоначально часть разработчиков резонаторов (как теоретиков, так и экспериментаторов), необоснованно распространяя проведенное в предыдущем разделе рассмотрение на область, где не выполняются приближения, в которых это рассмотрение выполнено, сделали необоснованный вывод о бесперспективности использования таких резонаторов в лазерах. Однако исследования, проведенные Ю.А. Ананьевым и В.Н. Рождествиным в СССР и А.Е. Сигманом в США, показали, что неустойчивые резонаторы обладают рядом достоинств. В настоящее время эти резонаторы с успехом используются в мощных лазерах.

Как уже говорилось ранее, в неустойчивых резонаторах наблюдается «разбегание» излучения от оси резонатора, что ведет к появлению «геометрических» потерь, связанных с неминуемым в этом случае выходом излучения мимо краев зеркала резонатора (рисунок 7.6).

Для работы лазера в автоколебательном режиме необходимо выводить часть потока излучения в качестве выходного. В неустойчивых резонаторах в этом качестве можно использовать проходящее мимо краев зеркал излучение (такой вывод излучения называют дифракционным), так же, как в устойчивом резонаторе используется излучение, проходящее через частично пропускающее зеркало. При этом, подбирая геометрию резонатора, можно обеспечить оптимальный с точки зрения энергетических характеристик коэффициент вывода излучения.

Достоинством таких резонаторов является возможность хорошего заполнения активной среды излучением низших типов колебаний компактных активных объемов (характеризуемых большими значениями числа Френеля). Напомним, что в устойчивых резонаторах низшие поперечные моды сконцентрированы вблизи оси резонатора и используют активную среду малоэффективно.

Неустойчивые резонаторы из вышеприведенных соображений наиболее интересны для мощных лазеров. В медицине подобные лазеры на углекислом газе используются в аппаратах для лазерной реваскуляризации миокарда, когда требуются мощные импульсы излучения.

Неустойчивые резонаторы могут быть исследованы в рамках геометрического приближения. Рассмотрим резонатор, образованный двумя выпуклыми сферическими зеркалами (рисунок 7.7) З₁ и З₂, диаметрами 2а, расположенными на расстоянии L.

Рисунок 7.7. Распространение сферических волн в неустойчивом резонаторе

Пусть сферическая волна распространяется направо от зеркала З₁ таким образом, как если бы она исходила из центра в точке P₁ за зеркалом. В общем случае P₁ не совпадает с центром кривизны зеркала. Эта волна отражается от зеркала З₂ и создает вторую сферическую волну с мнимым центром P₂, распространяющуюся налево. Положение центра P₂ связано с положением центра P₁ и кривизной зеркала З₂ формулами геометрической оптики. Новая сферическая волна, отразившись от зеркала З₁, образует в свою очередь сферическую волну с новым мнимым центром за этим зеркалом. Для собственного типа колебаний необходимо выполнение лишь одного требования: новый мнимый центр после полного прохода резонатора должен совпасть с первоначальным центром P₁ . Расчет дает пару центров, положение которых определяется формулой:

, где i,k=1,2; i≠k. (7.7)

В этом случае однородная сферическая волна воспроизводит через один полный проход волну, подобную себе по форме, но несколько ослабленную вследствие того, что часть энергии выходит за края зеркал.

Пусть зеркала резонатора имеют одинаковую кривизну и одинаковые диаметры 2а. Если в этом случае распределение амплитуды излучения на поверхности первого зеркала описывается осесимметричной функцией f₁=f₁(х), где х – расстояние от оси резонатора. Поскольку в резонаторе распространяется расходящаяся сферическая волна, то после прохождения резонатора распределение излучения в плоскости второго зеркала будет иметь вид

, (7.8)

где M – величина линейного увеличения размера волнового фронта за проход, связанная с g–параметрами выражением