ЛЕКЦИЯ 07 (Электронные лекции), страница 2

. (7.9)

Появление М в знаменателе связано с тем, что плотность интенсивности сферической расходящейся волны ослабляется по мере увеличения фронта. Уравнение для собственных значений и собственных функций неустойчивого резонатора будет иметь вид

(7.10)

Этому уравнению удовлетворяют решения вида

, , (7.11)

где i – любое действительное число. Часто используемое ограничение значений i числами натурального ряда в данном случае не имеет места. Таким образом, при геометрическом рассмотрении мы получаем континуум собственных функций. Иначе говоря, геометрическое рассмотрение дает нам связь между распределением поля излучения в пространстве и его ослаблением в резонаторе.

Так, для равномерного распределения поля излучения потери за один проход составляют величину

. (7.12)

И
нтересно, что рассмотрению не противоречат не только дробные, но и отрицательные значения i. Более того, они имеют простой физический смысл. Представим себе не расходящуюся, а сходящуюся сферическую волну с теми же мнимыми центрами. В этом случае она тоже будет преобразовываться в резонаторе сама в себя. Плотность мощности подобной волны, если она каким-либо способом образуется в реальном лазерном резонаторе, будет возрастать, что может привести к повреждению его зеркал. Подобное может произойти, например, в неустойчивых конфокальных резонаторах (рисунок 7.8), часто называемых телескопическими.

В качестве выходного используется излучение, выходящее мимо краев выпуклого зеркала. Эти резонаторы интересны тем, что один из мнимых центров (на рисунке правый) расположен в бесконечности, то есть излучение, распространяется в этом направлении параллельным (с точностью до дифракционных ограничений) пучком, то есть имеет желательную для большинства применений минимальную расходимость. Для подобных резонаторов стал привычным термин «телескопические резонаторы». Именно в таких резонаторах наличие отражающих плоскостей, перпендикулярных оси резонатора, например, торцов активного элемента, может привести к появлению паразитной сходящейся волны.

Образование подобной волны в реальном резонаторе нежелательно, поскольку, не выходя наружу, она не только снимает часть инверсной населенности, но, стягиваясь к оси резонатора, она может создать высокую плотность мощности, способную повредить зеркала резонатора.

Для более детального рассмотрения свойств неустойчивых резонаторов необходимо воспользоваться уравнениями для комплексных амплитуд. Этому посвящен описанный ниже метод Прони.

7.4. Метод Прони для расчета собственных функций резонатора.

Рассмотренный выше метод Фокса-Ли дает возможность определить в линейном приближении два низших собственных типа колебаний – симметричный и антисимметричный.

Во многих случаях, в частности, при рассмотрении неустойчивых резонаторов этого оказывается недостаточно. Рассмотрим численный метод [3] решения интегрального уравнения (5.12).

Ŵ u_i = γ_i u_i

В силу численности метода примем, что распределение излучения в собственном типе колебаний задается вектором u_i, описываемым столбцом с количеством строк, равным числу точек, определяющих значение комплексной амплитуды на зеркале.

В этом уравнении Ŵ – симметричная комплексная матрица оператора формулы Кирхгофа. Порядок матрицы также определяется числом точек на зеркале, в которых задается функция u_i.

Сразу будем искать систему собственных векторов, ортонормированную относительно соотношения

(u_i , u_k) = , (7.13)

где δ_ik –символ Кронекера, равный 1 при i=k и 0 при i≠k.

Такое поточечное произведение отличается от обычного (скалярного) произведения, в котором один из векторов берется комплексно-сопряженным. Поэтому произведение произвольных векторов v (описывающих произвольные распределения комплексной амплитуды на зеркалах резонатора) в общем случае может быть комплексной величиной.

Свойство ортонормированности расширяет возможность использования системы собственных функций, поскольку позволяет найти коэффициенты k_i разложения произвольного вектора (произвольной функции) по собственным векторам (функциям). Действительно:

(u_k , v)= (7.14 )

В качестве исходного для рассматриваемой процедуры возьмем распределение v₀ , получившееся в результате нескольких предварительно проведенных воздействий оператора Ŵ на произвольно заданное распределение v. При этом предположим, что в v₀ содержится уже лишь N наиболее добротных собственных значений собственных векторов (функций) u, после чего воздействуем на него еще N раз оператором Ŵ :

v ₀ = k₁ u₁ + k₂ u₂ + … + k_N u_N + …

v₁ = k₁ γ₁ u₁ + k₂ γ₂ u₂ + … + k_N γ_N u_N + ………….. (7.15)

v_N = k₁ γ₁^Nu₁ + k₂ γ₂^Nu₂ + … + k_N γ_N^N u_N + …

Из полученных векторов мы можем получить их поточечные произведения, которые в силу ортогональности собственных значений будут иметь вид:

F_m = (v_m’ , v _m-m’) = K₁γ₁^m + K₂ γ₂^m+ … + K_N γ_N^m + … , (7.16 )

где K_i = k_i²_.

Из полученных N векторов можно получить 2N+1 таких произведений:

F ₀ = K₁ + K₂ + … + K_N + …

F₁ = K₁γ₁ + K₂ γ₂ + … + K_N γ_N + …

F₂ = K₁γ₁² + K₂ γ₂² + … + K_N γ_N² + … ( 7.17)

F_2N = K₁γ₁^2N + K₂ γ₂^2N + … + K_N γ _N^2N + …

Вертикальные линии в (7.15) – (7.17) показывают, что мы ограничились рассмотрением N доминирующих собственных функций. То, что промежуточные значения F_m , где m ≠0, 1, 2N, 2N+1, могут быть получены в результате перемножения разных векторов, дает возможность контроля корректности расчетов.

Известно, что если есть N комплексных чисел γ_i, то может быть составлен многочлен N–й степени с коэффициентами Q_n, так, что γ_i будут корнями этого многочлена:

γ^N +Q₁ γ^N-1 + … + Q_N-1 γ ^N + Q_N = 0. (7.18)

Если подставить в этот полином γ=γ_n и умножить на K_n γ_n^m, то получим часть вертикального столбца в правой части системы (7.17), с той лишь разницей, что каждый член столбца в правой части будет умножен на соответствующий коэффициент Q_N-i, где i меняется от 0 до N, если считать сверху вниз. Если провести такую операцию со всеми γ_n по очереди и сложить получившиеся столбцы, то станет очевидным, что величины F_m должны удовлетворять следующему соотношению:

F_m+N +Q₁ F_m+N-1 + … + Q_N-1 F_m+1 = F_m (7.19)

Для тех же самых коэффициентов Q_i, причем для произвольных значений m. Это означает, что каждое F_m линейно зависит от предшествующих N значений F_m. Выписывая уравнения (7.19) для последовательных значений m = 1, 2 … N, получаем систему для N линейных уравнений:

Q₁F_N +Q₂ F_N-1 + … + Q_N F₁ = F_N+1

Q₁ F_N+1 +Q₂ F_N + … + Q_N F₂ = F_N+2 (7.20)

Q₁ F_2N-1 +Q₂ F_2N + … + Q_N F_N = F_2N

Теперь мы имеем все соотношения для вычисления собственных значений и собственных функций.

Процедура расчета строится следующим образом. Прежде всего по N итерациям распределения v₀ вычисляются поточечные произведения F_m. После подстановки F_m в систему (7.20) вычисляются коэффициенты Q_i. Собственные значения γ_i получаются в результате решения уравнения (7.18) при известных Q_i. Решая (7.17) как систему уравнений при известных F_m и γ_i находим коэффициенты разложения k_i .И, наконец, собственные функции получаются решением линейной системы уравнений (7.15).

Таким образом рассмотренный метод позволяет получать любое наперед заданное число N собственных колебаний резонатора и соответствующих им собственных значений. Практически это число ограничивается возможностями вычислительной техники и количеством машинного времени. Следует отметить, что проведенные расчеты для 5-6 собственных типов колебаний резонатора позволяют в большинстве случаев получить достаточную для практического использования информацию. Посмотрим, что дает подобное рассмотрение для неустойчивых резонаторов [3].

7.5. Неустойчивые резонаторы (волновое приближение)

Как и в устойчивых резонаторах с произвольными сферическими зеркалами, в качестве параметра оказывается удобным рассматривать эквивалентное число Френеля, равное

N_экв= (7.21 )

Н
а рисунке 7.9 приведена зависимость потерь Г от эквивалентного числа Френеля N_экв для трех первых низших типов колебаний.

Из графика видно, что потери осциллируют по мере увеличения числа Френеля. При этом типы колебаний, обладающие низшими потерями (максимальной добротностью) поочередно сменяют друг друга. Наиболее интересными с точки зрения получения одномодового режима являются конфигурации неустойчивых резонаторов с примерно полуцелыми значениями N_экв. В этих точках дифракционные потери достигают минимума. Физически это можно объяснить тем, что распределение комплексной амплитуды низшего собственного типа колебаний для такого резонатора на краях зеркала резонатора (где происходит дифракция) имеет минимальное значение. Следовательно, мала дифрагирующая часть энергии излучения. Именно в этих точках наиболее велико различие в потерях для низших типов колебаний, что позволяет сравнительно просто обеспечить работу в одномодовом режиме.

В точке смены, проходящей вблизи целых значений N_экв, собственные типы колебаний оказываются вырожденными по величине потерь. Это наихудшие условия для выделения одного типа колебаний. Напомним, что геометрическая теория давала континуум собственных типов колебаний, в котором никаких осцилляций не было.

Это наводит на мысль, что создание условий для уменьшения дифракции на краях зеркала может привести к тому, что в этом случае не будет происходить смены типов колебаний, обладающих низшей добротностью. Дифракция может быть уменьшена в случае сглаживания острого края зеркал, например, плавным изменением коэффициента отражения. Результаты расчетов, проведенных для резонаторов, образованных зеркалами со сглаженным краем, показали, что вырождение действительно снимается. Изменения показаны на рисунке 7.9 пунктирными линиями. В таких резонаторах условия для работы на низшей моде улучшаются, оставаясь, однако наилучшими для полуцелых значений N_экв.

Более подробно со свойствами неустойчивых резонаторов, практическими схемами и областями применения можно познакомиться в справочнике [2] и приведенной в нем литературе.