ЛЕКЦИЯ 04 (Электронные лекции)

ЛЕКЦИЯ 4.

ФОРМА И ШИРИНА ЛИНИИ ИЗЛУЧЕНИЯ

АКТИВНОЙ СРЕДЫ

4.1 Однородное уширение линии излучения.

Любая квантовая система, характеризующаяся дискретным набором энергетических уровней, не может сколь угодно долго находиться в возбужденном состоянии. В этом случая энергия соответствующего состояния может быть определена только с точностью, допускаемой соотношением неопределенностей:

Е  ₀  h/2 (4.1),

т.е минимально возможная ширина энергетического уровня

Е = h/2 ₀ (4.2),

где, напомним, h- постоянная Планка; иногда используют величину постоянной Планка ħ=h/2.

Неопределенность энергии однозначно связана с неопределенностью частоты перехода (рассматриваем пока переходы в основное состояние, время жизни в котором бесконечно велико), то есть линия излучения активного центра при спонтанных переходах будет характеризоваться конечной шириной _л, что ведет к зависимости от частоты вероятности индуцированного перехода в (2.8):

(4.3).

Поскольку разница энергий при переходе связана с частотой формулой

Е = h,

ширина линии излучения рабочего перехода будет равна 1/2₀ .

Постоянная ₀ является мерой времени, необходимого для того, чтобы система после возбуждения отдала свою энергию. Значение ₀ вообще определяется как вероятностью спонтанного излучения, так и скоростями безызлучательных релаксационных переходов, и может меняться в довольно широких пределах. В отсутствие внешних воздействий (изолированные активные центры) время _0max определяется исключительно вероятностью спонтанного перехода A₂₁ , поэтому соответствующая ширина линии равна

₀ = A₂₁ /2 (4.4)

и не может быть уменьшена никакими способами. Она называется естественной шириной линии [1].

В реальных условиях активные центры находятся в постоянном взаимодействии с окружающей средой. Это взаимодействие приводит к снижению времени жизни активного центра в возбужденном состоянии, т.е. ₀ << _реал., при этом ширина линии определяется в основном релаксационными безызлучательными причинами, действующими в направлении установления термодинамического равновесия. Это могут быть столкновения между самими активными частицами (в газовой среде они преобладают), столкновения с частицами другого типа, не участвующими в излучательном процессе, взаимодействия с решеткой кристалла и т.д. Кривая, описывающая зависимость вероятности переходов (а, значит интенсивности излучения) от частоты, называется формой спектральной линии.

Описываемые причины уширения оказывают одинаковое воздействие на все активные центры. Уширение такой природы называют однородным. Можно показать, что форма спектральной линии при однородном уширении описывается функцией Лоренца:

(4.5)

Здесь _Л = 1/2₀ — ширина кривой на половине максимальной величины. Максимум лоренцевой функции находится на частоте ₀ (см. рис. 4.1).

Рис.4.1. Лоренцева форма

линии излучения.

В случае, если переход происходит в нижнее состояние, не являющееся основным, то есть обладающее временем жизни ₀₁, то ширина линии _Л будет определяться формулой:

(4.6),

учитывающей времена жизни обоих рабочих уровней. Заметим, что выражение (4.5) записано в нормированной форме:

^(4.7),

поскольку спектрально зависимая вероятность спонтанного перехода при интегрировании должна превращаться в достоверность.

Вероятности спонтанного и вынужденного излучения связаны друг с другом. Поэтому спектральная зависимость усиления повторяет кривую Лоренца, если только все активные частицы равноправно участвуют в актах излучения и поглощения:

W_^инд = q()W_инд = q()B₂₁_ (4.8)

Рассмотренное уширение спектральной линии, связанное с конечностью времени жизни возбужденного состояния, называется однородным. Такое название дано по следующей причине. Спектральная зависимость q() для данного механизма уширения есть единая характеристика как для одной активной частицы, так и для всей совокупности частиц. Наиболее характерные примеры однородного уширения — естественная ширина линии и столкновительное уширение в газах.

4.2. Неоднородное уширение линии излучения.

Кроме описанных причин уширения линии возможны такие, при которых линии излучения активных центров не совпадают друг с другом. В результате каждая частица или группа частиц излучает в пределах не всей наблюдаемой линии, и уширение в таком случае называется неоднородным.

Классическим примером неоднородного уширения является допплеровское уширение, характерное для газов при малых давлениях и высоких частотах. Частицы газа находятся в тепловом движении. Из-за этого каждая частица излучает смещенную в соответствии с эффектом Допплера частоту. Поскольку направления и величины скоростей движения частиц могут различаться, то линии испускаемого ими излучения оказываются сдвинутыми друг относительно друга. Обозначим p(u) — распределение частиц по скоростям. Соответствующий форм-фактор допплеровской линии q() можно простым соотношением связать с p(u):

q() d = p(u) du (4.9),

учитывающим то, что суммарная форма линии определяется распределением частиц по скоростям. Прочими смещениями частоты в данном случае пренебрегаем. Тогда (4.9) отражает тот факт, что число частиц, имеющих скорости в интервале du, ответственно за «кусок» форм–фактора в интервале d . Наблюдаемая частота, в соответствии с эффектом Допплера, равна:

 = ₀  (u/c) (4.10)

Отсюда:

q() = (c/₀)  p (c [ – ₀]/ ₀) (4.11)

Если принять максвелловское распределение по скоростям:

p(u) =( 1/u₀  ) exp[(– u/u₀)²] (4.12),

то выражение для q() примет вид кривой Гаусса:

q() = (1/_T  ) exp [–( –₀)/_T] ² (4.13),

где

(4.14)

В (4.14) использовано выражение для средней тепловой скорости частиц газа, известное из молекулярной физики:

(4.15)

г
де k_Б — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура, m — масса частицы газа.

Вообще говоря, при выводе формулы (4.13) допущены определенные нестрогости. Так, игнорируются все прочие механизмы уширения, а ведь естественным уширением пренебрегать мы не вправе. Поэтому необходимо помнить, что проведенные рассуждения, итогом которых является формула (4.13), справедливы при условии малости естественной ширины линии по сравнению с допплеровскими сдвигами.

Кроме того, вывод (4.13) основан на максвелловском распределении по скоростям, полученном в предположении о термодинамическом равновесии в системе, да не просто равновесии, а детальном равновесии, реализующемся при полной равновероятности всех возможных отклонений от равновесного состояния. Вроде бы налицо противоречие с необходимостью нарушения термодинамического равновесия в активной среде. Но это противоречие не носит принципиального характера. Нарушение термодинамического равновесия, распространяющееся на два рабочих уровня, очень мало сказывается на тепловом равновесии системы в целом. Во всяком случае, на распределение частиц по скоростям его влиянием можно пренебречь. Поэтому оценки уширения линии, получаемые из максвелловского распределения по скоростям, оказываются в очень хорошем согласии с экспериментом.

Формула (4.13), также записана в нормированном виде, т.е. с учетом выполнения требования нормировки

Полезно изобразить гауссову и лоренцеву формы линии на одном чертеже (рисунок 4.2):



(₀–)/

Рисунок 4.2

Сравнение гауссовой (1) и

лоренцевой (2) форм линии.

q()

0,5

Гауссова кривая симметрична, как и лоренцева, относительно центральной частоты ₀ , но ведет себя существенно отличным от лоренцевой образом. Около ₀ гауссова кривая более полога, зато на крыльях спадает существенно более круто. При удалении от ₀ на _Т интенсивность спадает в е раз.

Если, как и для лоренцевой кривой, определить ширину линии _D как расстояние по частоте между такими точками отстройки от ₀ , в которых интенсивность падает в 2 раза, то легко получить, что эта ширина равна:

(4.16)

Н
а рисунке 4.2 гауссова и лоренцева кривые изображены для одинаковой
ширины линии излучения  =_Л =_D. В реальных системах неоднородное уширение добавляется к однородному.

Для оценки допплеровской ширины удобно пользоваться формулой:

(4.17)

где Т — температура, М — относительная молекулярная масса. В видимом диапазоне при не слишком высоких температурах _D составляет (0,8…1,5) ГГц. Для грубых численных оценок в условиях тлеющего газового разряда (реализуемого для возбуждения в большинстве газовых лазеров) можно брать _D /₀  (2 – 3)10^–6 [1].

Сопоставим полученные оценки с однородным уширением.

Как уже говорилось, в реальных условиях ширина лоренцевой кривой определяется столкновениями частиц, а естественным уширением можно при этом пренебречь. В классическом приближении (возбужденная частица рассматривается как гармонический осциллятор, возмущенный внешним полем) столкновительное уширение линии наиболее убедительно описывается случайными изменениями фазы колебаний осциллятора при взаимодействии с внешним полем. Среднее время свободного пробега осциллятора между двумя фазосбивающими столкновениями называется средним временем жизни частиц газа по отношению к таким столкновениям (при сбое фазы можно считать, что появился новый осциллятор, а старый исчез, причем амплитуда колебаний не изменилась). Это время _ст и определяет столкновительную ширину линии _ст:

_ст = 1/2_ст (4.18)