ЛЕКЦИЯ 03 (Электронные лекции)

ЛЕКЦИЯ 3.

БАЛАНСНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДЛЯ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК ЛАЗЕРОВ

3.1. Уравнения для интенсивности излучения

В лекции 2 было установлено, что в среде с инверсной населенностью прохождение резонансного электромагнитного излучения вызывает вынужденные переходы с испусканием фотонов, аналогичных фотонам падающего (вынуждающего) излучения.

Рассмотрим параллельный монохроматический пучок света с интенсивностью J (число фотонов в единицу времени через единицу площади), распространяющийся вдоль оси z через слой активной среды с резонансной ему системой энергетических уровней Е₁ и Е₂ (рисунок 3.1а).

z

z

Рисунок 3.1. Распространение света в активной среде (а); изменение интенсивности света при положительной и отрицательной инверсной населенности (б).

Число индуцированных переходов в единицу времени в единичном объеме из состояния 2 в состояние 1 составит величину

WN₂ =σJN₂,

а число обратных переходов

WN₁ =σJN₁,

где W – вероятность вынужденного перехода,

N_i – населенность i-того уровня,

σ – поперечник вынужденного перехода.

В обычных условиях при термодинамическом равновесии распре­деление населенностей атомных уровней подчиняется закону Больцмана (2.2). Следовательно, N2<N1, Δ отрицательна и по мере распространения излучения в среде его интенсивность уменьшается. Для получения лазерного эффекта, т.е. усиления света необходимо обеспечить такие условия, при которых величина Δ была бы положительной.

Таким образом, вопрос о возможности усиления и генерации света на основе эффекта индуцированного излучения сводится к вопросу создания возбужденной среды с инверсной населенностью, для которой выполняется условие N2>N1. Выше (лекция 2) уже говорилось, что процесс создания инверсной населенности называется накачкой.

В качестве модели для рассмотрения возьмем активную среду твердотельного лазера с зеркалами резонатора, нанесенными непосредственно на торцы активного элемента (рисунок 3.2а). Левое зеркало полностью отражающее, правое имеет коэффициент отражения r.

б

В рассмотрении учтем, что в любой активной среде происходят потери излучения за счет нерезонансного поглощения, рассеяния и других причин. Выразим все эти потери через коэффициент β, такой, что затухание световой волны подчиняется экспоненциальному закону J(z)=J₀e ^-βz . В кристаллических лазерах типичное значение β составляет величину 0,01…0,03 см^-1.

Л
азерное излучение в резонаторе представляет собой наложение двух волн (рисунок 3.2). Одна из этих волн распространяется в положительном направлении оси z и имеет интенсивность J₂ , другая волна распространяется в противоположном направлении и имеет интенсивность J₁ . Часть излучения J₂, проходя через частично пропускающее зеркало, становится выходной интенсивностью J_Σ= J₁(l)(1-r).

Уравнения для приращения интенсивности излучения на длине Δх могут быть записаны в виде [1]:

J₁(x + Δх, t+ Δt) - J₁(x, t) = (σΔ-β) J₁(x, t) Δх, (3.1)

J₂(x - Δх, t+ Δt) – J₂(x, t) = (σΔ-β) J₂(x, t) Δх. (3.2)

откуда получаем систему дифференциальных уравнений:

где v – скорость света в активной среде.

Граничные условия для J₁ и J₂ для случая, соответствующего рисунку 3.2а, могут быть записаны в виде:

J₁ (z=0)= J₂ (z=0), и J₁ (z=l)= r J₂ (z=l) . (3.5)

Введем обозначения J₊ = J₁ + J₂ , J_- = J₁ - J₂ . Складывая правые и левые части уравнений (3.3) и (3.4), получим

. (3.6)

Усредним это уравнение по длине активной среды и т.д.:

(3.2)

Из рисунка 3.2 видно, что суммарное излучение J₊ =J₁ + J₂ слабо меняется вдоль оси резонатора. Можно также предположить, что малым по сравнению с самой инверсной населенностью будет ее изменение по х.

В этом случае среднее значение произведения ΔJ₊ можно заменить на произведение их средних значений:

(ΔJ₊)_ср ={[Δ_ср─ δΔ(x)] [J_+ср─ δJ(x)]}_ср =Δ_срJ_ср + [δΔ(x) δJ(x)]_ср≈ Δ_срJ_+ср. (3.8)

Действительно, линейные члены пропадают, поскольку [δΔ(x)]_ср=0 и [δJ(x)]_ср=0, а членами второго порядка пренебрегаем в силу сделанного предположения.

Граничные условия преобразуются для J₊ и J_- к виду :

J_- (0) = 0, (3.9)

(3.10)

В дальнейшем будем использовать обозначения Δ_ср=Δ, J_+ср=J.

В этом случае получаем уравнение

(3.11)

Уравнение получено в приближении значений r, близких к единице.

Точность уравнения (3.11) при малых r повысится, если второй член в квадратных скобках заменить на величину

. , (3.12)

имеющую смысл потерь на излучение.

В этом случае уравнение (3.11) будет иметь вид:

(3.11а)

При малых r уравнения тождественны, в чем легко убедиться, вспомнив разложение логарифма в ряд Тейлора:

Первый член в правой части уравнения (3.11а) описывает процесс усиления интенсивности света вследствие вынужденного излучения. Второй член характеризует потери, связанные с наличием нерезонансного поглощения и рассеяния в активной среде, а также с выводом выходного излучения через выходное зеркало.

Для начала развития генерации из шумовых (спонтанных) фотонов необходимо, чтобы производная в (3.11а) стала больше 0. Значение инверсной населенности, при котором усиление равно потерям называется пороговым, и оно равно:

(3.13)

Это же условие соответствует работе лазера в непрерывном режиме, когда интенсивность излучения постоянна. Отсюда следует справедливое для любых значений r соотношение

(3.14)

Отметим, что если оба зеркала имеют отличные от 1 коэффициенты отражения r₁ и r₂, то в выведенных формулах величина r заменяется на произведение r₁r₂.

В лазерной технике часто используются резонаторы, в которых зеркала расположены не на торцах активного элемента, то есть активная среда не полностью заполняет резонатор. Нетрудно показать, что в этом случае надо левую часть уравнения умножить на коэффициент

,

где l – длина активного элемента, L – длина резонатора, n – показатель преломления.

Этот коэффициент имеет смысл коэффициента заполнения резонатора, и чем он больше, тем медленнее протекают процессы в лазере.

3.2. Уравнения для инверсной населенности.

Трехуровневая схема.

Обозначим населенности уровней трехуровневой активной среды (рисунок 3.3) через N₁, N₂ и N₃ .

Тогда число индуцированных переходов с нижнего уровня на третий в единицу времени (вероятность вынужденных переходов) W₁₃ под действием излучения накачки (рассматриваем случай оптической накачки) будет равно W₁₃N₁, а в обратном направлении W₁₃N₂. Вероятность W₁₃ пропорциональна интенсивности накачки. Тогда уравнения, описывающие трехуровневую систему, могут быть записаны в виде

(3.15)

(3.16)

(3.17)

где величина W=σJ по-прежнему обозначает вероятность вынужденных переходов между основными лазерными уровнями 1 и 2, τ - время жизни на уровне 2 относительно безызлучательных переходов, а τ₃₂ – время безызлучательных переходов активных центров с уровня 3 на уровень 2.

Одно из уравнений можно исключить, если предположить, что на третьем уровне не происходит накопление активных центров, т.е. N₃<<N₁ и . Это предположение справедливо, если W₁₃<<1/ τ₃₂ , то есть когда все активные центры, заброшенные накачкой на 3 уровень, быстро по сравнению со временем возбуждения переходят на метастабильный 2 уровень. Для, например, рубинового лазера, работающего по трехуровневой схеме, указанное предположение всегда выполняется, поскольку τ₃₂~10^-2с.

В таких предположениях система (3.15)-(3.17) сводится к уравнению для инверсной населенности Δ:

. (3.18)

где N₀=N₁+N₂+N₃ – полное число активных центров.

Вместе с уравнением (3.11а) уравнение (3.18) образует полную систему уравнений, описывающих изменение инверсной населенности и интенсивности излучения в лазере. Эти уравнения называют усредненными балансными уравнениями, поскольку они описывают баланс энергий в лазере.

Следует обратить внимание на коэффициент 2 в первом члене правой части уравнения (3.18). Его наличие означает, что акт вынужденного излучения одного фотона ведет к изменению инверсной населенности на 2, поскольку при этом населенность верхнего лазерного уровня убывает на 1, а нижнего увеличивается на 1. В стационарном режиме производная равна 0 и

(3.19)

Из (3.19) видно, что для получения инверсной населенности накачка должна обеспечивать выполнение неравенства W₁₃>1/τ.

Полагая в (3.19) J=0, можно определить величину коэффициента усиления малого сигнала α₀=σΔ.

(3.20)

Малым называется сигнал, при распространении которого в активной среде не происходит заметного изменения инверсной населенности.

Подставляя в формулу (3.19) пороговое значение инверсной населенности из (3.13), и учитывая, что при пороговых условиях J=0, определим пороговую величину W_13п, пропорциональную значению интенсивности накачки:

(3.21)

Типичный вид зависимости пороговой мощности накачки от коэффициента пропускания выходного зеркала τ » (I―r) приведен на рисунке 3.4. По мере увеличения прозрачности зеркала пороговая мощность накачки возрастает сначала очень медленно (когда коэффициент отражения близок к единице), а затем (при r > 0,5) с нарастающей скоростью.