Лекция 15_ (Лекции в электронном виде), страница 2

Изложенный вариант критерия известен как Т-критерий Манна-Уитни. Порядок его вычисления таков.

• Данные обеих групп объединяют и упорядочивают по возрастанию. Ранг 1 присваивают наименьшему из всех значений, ранг 2 – следующему и так далее. Наибольший ранг присваивают самому большому среди значений в обеих группах. Если значения совпадают, им присваивают один и тот же средний ранг (например, если два значения поделили 3-е и 4-е места, обоим присваивают ранг 3,5).

• Для меньшей группы вычисляют Т – сумму рангов ее членов. Если численность групп одинакова, Т можно вычислить для любой из них.

• Полученное значение Т сравнивают с критическими значениями. Если Т меньше или равно первому из них либо больше или равно второму, то нулевая гипотеза отвергается (различия статистически значимы).

Что делать, если нужной численности групп в таблице не оказалось? Можно самому построить распределение Т. К сожалению, с ростом численности групп сделать это становится все труднее. Например, если объем каждой из групп равен 10, то число вариантов равно 184756. Поэтому лучше воспользоваться тем, что при численности групп, большей 8, распределение Т приближается к нормальному со средним

и стандартным отклонением

где n_М и n_Б – объемы меньшей и большей выборок. Если значения совпадают, то стандартное отклонение вычисляется по формуле

где N=n_М+n_Б – общее число членов обеих выборок, τ_i – число значений i-го ранга. Суммирование производится по всем совпадающим рангам.

Величина

имеет стандартное нормальное распределение. Более точный результат обеспечивает поправка Йейтса

9.2. Сравнение наблюдений до и после воздействия. Критерий Уилкоксона

Существует основанный на рангах критерий для определения статистической значимости различий до и после воздействия, не ограниченный условием нормальности – это критерий Уилкоксона. Принцип критерия следующий. Для каждого больного вычисляют величину изменения признака. Все изменения упорядочивают по абсолютной величине (без учета знака). Затем рангам приписывают знак изменения и суммируют эти «знаковые ранги» - в результате получается значение критерия Уилкоксона W.

Как видим, используется информация об абсолютной величине изменения и его знаке (то есть уменьшении или увеличении наблюдаемого признака). Метод основан на рангах, поэтому не нуждается в предположениях о типе распределения изменений. Как в случае с критерием Манна-Уитни, здесь также можно перечислить все возможные величины W и найти критическое значение.

Обратите внимание, исходно ранги присваиваются в соответствии с абсолютной величиной изменения. Так, например,

величины 5,32 и -5,32 получат один и тот же ранг, а уже затем рангам будет присвоен знак изменения.

Рассмотрим пример. Допустим, мы исследуем некий препарат, предположительно диуретик. Дадим его 6 добровольцам и сравним диурез до и после приема препарата. Результаты представлены в табл. 8.4.

У 5 человек диурез увеличился. Значит ли это, что препарат является диуретиком?

Упорядочим изменения диуреза по абсолютной величине и присвоим им ранги от 1 до 6. Затем, приписав рангу каждого изменения соответствующий изменению знак, перейдем к зна­ковым рангам (последний столбец табл. 8.4). Наконец, вычис­лим сумму знаковых рангов W= 13.

Если препарат не оказывает действия, сумма рангов со знаком «+» должна быть примерно равна сумме рангов со знаком «-» и значение W окажется близким нулю. Напротив, если препарат увеличивает (или уменьшает) диурез, будут преобладать положительные (отрицательные) ранги и значение W будет отличным от нуля.

Как и в случае критерия Манна-Уитни, распределение W не является непрерывным и поэтому нельзя указать критическое значение, для которого уровень значимости в точности равнялся бы, например, 5%. В табл. приведены критические зна­чения, наиболее близкие к 5 и 1% уровням значимости для слу­чая, когда численность группы не превосходит 20.

Если число пар измерений больше 20, то распределение W достаточно близко к нормальному со средним μ_w = 0 и стандартным отклонением

где n — число пар наблюдений (то есть численность группы). Можно, таким образом, использовать

Чтобы приближение было более точным, воспользуемся поправкой Йейтса на непрерывность:

При анализе наблюдений до-после встречается два вида совпадений. Это, во-первых, совпадение величин, которым присваиваются ранги. Такая ситуация возникает при использовании любого рангового метода. Как всегда, совпадающим величинам присваивается общий ранг, равный среднему мест, занимаемых ими в упорядоченном наборе.

Если некоторые значения совпадают, стандартное отклонение должно быть уменьшено в соответствии со следующей формулой:

где n – численность группы, τ_i - число значений i-го ранга.

Единственная особенность – то, что в случае наблюдений (до-после) речь идет о совпадении не самих величин наблюдаемого признака, а их изменений. Другой вид совпадения – совпадение значений «до» и «после». Каждую такую пару наблюдений нужно исключать из расчета, соответственно уменьшая на единицу объем выборки.

Повторим последовательность шагов, позволяющую по наблюдениям, выполненным до и после лечения, проверить его эффективность.

• Вычислите величины изменений наблюдаемого признака. Отбросьте пары наблюдений, которым соответствует нулевое изменение.

• Упорядочите изменения по возрастанию их абсолютной величины и присвойте соответствующие ранги. Рангами одинаковых величин назначьте средние тех мест, которые они делят в упорядоченном ряду.

• Присвойте каждому рангу знак в соответствии с направлением изменения: если значение увеличилось - «+», если уменьшилось - «-».

• Вычислите сумму знаковых рангов W.

• Сравните полученную величину W c критическим значением. Если она больше критического значения, изменение показателя статистически значимо.

ЗАДАЧИ

9.1. Анализы, инструментальные исследования и лекарственные средства назначаеи врач, а платит за них, в основном, больной. Многие врачи весьма смутно представляют себе стоимость своих назначений и не озабочены тем, чтобы уменьшить расходы больного. Чтобы побудить врачей задуматься об этом, все шире практикуется учет затрат на обследование и лечение. Было проведено исследование в котором в течение трех месяцев регистрировали расходы на обследование и лечение амбулаторных больных, которых наблюдали врачи из клиники Вашингтонского университета. Данные собирали по больным со сходными заболеваниями. Рассчитав для каждого врача среднегодовые расходы на обследование и лечение одного больного, составили общий список, который раздали врачам. Каждый врач знал свой номер в списке но не знал номеров своих коллег, таким образом он мог сравнить свои расходы с расходами других, но не знал, кого именно. Через некоторое время исследователи проверили, какие изменения произошли в расходованиисредств у тех же врачей. Результаты сведены в таблицу. Произошли ли изменения в расходах на обследование и лечение?

РЕШЕНИЯ

Обследование: W=-72, n=12, P<0,02 (одно нулевое изменение).

Лечение: : W=-28, n=13, P>0,048