Лекции по курсу «Компьютерная томография»

Математическое моделирование томографических систем

Любое математическое моделирование сложного процесса складывается из двух этапов: 1. моделирование процесса получения проекционных данных, 2. моделирование процесса реконструкции.

Основные проблемы при построении моделей связаны с переходом на дискретную сетку при задании объекта, описании получения проекционных данных и т.д.

Моделирование процесса реконструкции.

П
ереход на дискретную сетку задания как объекта, так и описания получения проекционных данных, их преобразование и и.д.

Переход от декартовой системы координат на дискретной сетке, в которой задана функция (томографический фантом) к полярной системе координат, в которой задано уравнение зондирующих лучей.

1. Преобразование Радона от фантома для различного числа ракурсов. При этом надо ответить на ряд вопросов:

   • сколько поставить приемников (оптимальное число ракурсов)?

   • с какой точностью необходимо регистрировать данные?

   • с каким качеством делать приемники?

   • какой алгоритм реконструкции использовать при заданном количестве ракурсов, приемников регистрации и заданном уровне шумов регистрации?

2. После реконструкции необходимо сравнить реконструированное изображение с фантомом. Если в реальной томографии качество востановленного изображения определяется по методу невязки, то при моделировании сравнение можно провести непосредственно. Сравнение происходит по трем критериям.

Критериимеры различий между излучениями:

,

где d-мера  нормированная среднеквадратичная мера различий; большое различие значений в малой области ведет к увеличению значения ( велико, что плохо);

 фантом, т.е. в дискретном виде;

 реконструированное изображение;

 среднее значение плотности в дискретизации тест-фантома;

,

где r-мера  нормированная абсолютная средняя мера различий фиксирует наличие большого числа малых ошибок;

,

где e-мера фиксирует точку наихудшей реконструкции;

;

.

Дискретные алгоритмы реконструкции томограмм

Получена дискретизация по углу и проекциям. Дискретизация по углу всегда принципиальна (всегда, если есть шаг поворота приемника и источника), но всегда стоит вопрос: сколько брать ракурсов и как проводить дискретизацию. В идеальном случае нам известен спектр объекта, который определяет источник дискретизации в пространственной области. Максимальные пространственные частоты томограммы совпадают с максимальными частотами проекции согласно теореме о центральном слое.

Взаимосвязь линейной и угловой дискретизации:

Введем следующие параметры:

D – диаметр объекта;

d – интервал пространственной дискретизации, шаг в проекции;

 – интервал угловой дискретизации, т.е. шаг по углу;

_max – максимальная пространственная частота томограммы;

, где – число отсчетов в каждой проекции (количество направлений зондирования) по оси .

Интервал дискретизации определяется формулой: (по теореме Кательникова), так как согласно теореме о центральном слое, максимальная пространственная частота в проекции равна максимальной пространственной частоте в томограмме.

Если у нас есть спектр объекта, то мы хотим восстановить максимальную пространственную частоту _max. Оценим величину : изображение будет повернуто на . Необходимо передать нужные пространственные частоты (шаг дискретизации должен описывать все пространственные частоты)

должно быть таким, чтобы при обратном преобразовании Фурье, хватало отсчетов для реконструкции объекта диаметром :

(оценка, какое число ракурсов необходимо, чтобы передать пространственные частоты спектр томограммы).

В реальной томограмме число отсчетов 512512 (для двухмерной), для трехмерной - много больше.

Дискретные алгоритмы:

1. Алгоритм дискретного обратного проецирования фильтрованных проекций

дискретная свертка:

если задана на дискретной сетке , где ; ;

 число отсчетов по ракурсу; , то

необходимо использовать некое окно в частотной области, которое позволило бы избежать неустойчивости, которая происходит при вычислении подобной свертки.

При реализации данного алгоритма необходимо сделать следующие операции:

1. Дискретная фильтрация проекций (дискретные решения некорректной обратной задачи).

2. Дискретное обратное проецирование (поворот фильтрованной обратной проекции в плоскости на соответствующий угол поворота).

3. Суммирование всех проекций по углу.

Рассмотрим более подробно пункт 2):

Проекция представляет собой набор дискретных отсчетов. По числу артефактов дискретное обратное проецирование очень существенно:

Дискретная сумма:

М – число ракурсов;

 – шаг по углу;

d – шаг по р;

N – число отсчетов;

m – порядковый номер ракурса;

n – порядковый номер отсчета

Для каждого ракурса необходимо пересчитать в . На декартовую сетку необходимо спроецировать функцию, заданную в полярных координатах. Решается эта проблема методом итерации. Используются два метода итераций:

• по ближнему значению;

• линейный.

При итерации по ближайшему значению вычисляют по величинам , выбирают таким образом, чтобы . Складывают вместе лучевые суммы для лучей по одному из каждого ракурса, которые являются ближайшими к точке с координатами . Погрешности метода очень велики.

При линейной интерполяции берется точка, смотрится значение вокруг нее, считается расстояние до этих значений, этой точке присваивается.:

Затем считают значения функций:

_{Линейная интерполяция является более сложной и дорогостоящей. В каждой точке лучевых сумм вместо одного луча сумма линейно интерполированных лучевых сумм двух лучей, которые находятся по обеим сторонам от точки.Так повторяется для каждой точки дискретного декартового пространства – дискретная оценка томограммы.}

_{Необходима аддитивная и мультипликативная нормировка, потому что при инверсном преобразовании Радона не точно выполняют вычисление интеграла в смысле главного значения. выполненные из соображений размерности томограммы, совпадают с размерностью той физической величины, изображение распределения которого она является.}

_{Ограничен угол обзора, есть непрозрачные включения внутри объекта.}

2. Итерационные алгоритмы

Используются в тех случаях, когда количество данных ограниченно.

Достоинством данных алгоритмов является их чрезвычайная продуктивность.

Итерационные алгоритмы представляют собой последовательное действие одной и той же операции, в результате которого находится решение. Достоинством данного алгоритма является появление возможности не вводить обратного оператора.

И терационный алгоритм основан на том, что при реконструкции используются только известные данные о передаточной функции и нет необходимости в определении обратного оператора. В томографии итерационный алгоритм используется в тех случаях, когда существует ограниченный набор проекционных данных. В этом случае передаточная функция томографа равна нулю в больших областях пространственных частот.

Проекция задана только в пределах угла, а вне его равна нулю:

Итерационный алгоритм работает на привлечении априорной информации об объекте на всех этапах итерационного процесса.

Итерационный алгоритм Гершберга

Используется в тех случаях, когда количество проекционных данных недостаточно для применения классических методов, а так же в тех случаях, когда проекционные данные заданы не на всей плоскости.

Достоинства:

1. Нет необходимости в определении оператора обратного оператору искажений, т.е. в процедуру восстановления используют тот оператор, который исказил изображение.

2. При выводе итерационного уравнения можно использовать известные свойства искомого решения, т.е. априорную информацию на каждом этапе итерационной процедуры.

Построение итерационной процедуры:

П усть мы имеем некоторые функции и их Фурье–образ: и сформируем из них звезду, где за нулевую итерацию берется Фурье спектр (двумерная функция), получаемый Фурье-синтезом, тогда можно записать итерационную процедуру как:

Здесь – оценка томограммы на ом шаге;

– прямое двумерное преобразование Фурье;

– обратное преобразование Фурье;

с – оператор априорной информации о томограмме;

H_N – функция «звезды». Она равна 1 вдоль лучей в Фурье области и 0 во всех остальных случаях.

Берем первичную оценку информации, затем делам ЛФП используя априорную информацию. При умножении спектра на маску (0, где звезда существует, и 1, где ее нет).

– лучи, заданные правильно, а остальные в уравнении добавляет что-то, что будет вне звезды, между лучами.

Этапы (шаги) процедуры:

Шаг 1.