По известному набору проекций вычисляется набор их одномерных Фурье-образов, которые по теореме о центральном сечении дают в частотной области значения Фурье-образов искомого решения (томограммы). На этом этапе значения спектральных амплитуд равны нулю вне данных лучей.

Шаг 2.

Выполняется обратное двумерное преобразование Фурье функции для получения нулевой оценки оценки томограммы.

Шаг 3.

Вносится априорная информация о положительности функции и ограниченности области ее задания (оператор с).

Шаг 4.

Проводится прямое двумерное преобразование Фурье от оценки томограммы предыдущего шага и значения спектра на лучах, которые определялись на шаге 1, заменяются значениями спектра, вычисленными ранее непосредственно по проекции.

Шаг 5.

Проверяются критерии окончания итерационной процедуры, если они не выполняются, то переход к шагу 2, где вместо используется .

Критерий окончания итерационной процедуры:

Окончания итерационного процесса происходит тогда, когда происходит равенство нормы отклонения одномерных и двумерных оценок Фурье-спектра объекта на лучах норме шума в проекциях.

Количество итераций приближенно 20-30 (в зависимости от сложности).

Схематично алгоритм Гершберга можно представить как итерационные переходы от оценки объекта в спектральной плоскости к оценке объекта в пространственной области с внесением априорной информации о каждой из областей.

В спектре области – это априорная информация – знание Фурье-спектра на лучах. В пространственной области — знание о положительности и ограниченности томограммы.

Рентгеновские компьютерные томографы

Рентгеновское изображение формируется в результате взаимодействия квантов рентгеновского излучения с приемником и представляет собой распространение квантов, которые прошли через тело пациента и были зарегистрированы детектором. Последние делятся на первичные, т.е. прошедшие через тело пациента без взаимодействия с тканями тела, и на вторичные кванты, образующиеся в результате взаимодействия с тканями тела пациента (рис.1).

В

Рис. 1. Компоненты системы для получения рентгеновских изображений. В и Е  кванты, которые прошли через тело пациента без взаимодействия; С и D  рассеянные кванты. Квант D отсеивается сеткой, препятствующей рассеянному излучению, а квант А поглощается в теле

торичные кванты, как правило, отклоняются от направления своего первоначального движения и несут мало полезной информации. Полезную информацию несут первичные кванты. Они дают информацию о вероятности того, что квант проходит через тело пациента без взаимодействия. Вероятность этого события будет зависеть от совокупности ослаблений во всех тканях, лежащих на направлении распространения рентгеновских лучей. Поэтому получаемое изображение является проекцией характеристики ослабления во всех тканях, лежащих на направлении распространения рентгеновского излучения. Точнее говоря, изображение представляет собой двумерную проекцию трехмерного распределения ослабления рентгеновских лучей в теле.

Рентгенодиагностические системы получения изображения

Компоненты стандартной рентгеновской установки представлены на рис.1. Кванты, излучаемые рентгеновской трубкой, проникают в тело человека, в котором они могут поглотиться, рассеяться или пройти без изменения. Первичные кванты B и Е, регистрируемые приемником, образуют изображение, а рассеянные кванты C и D создают фон, который ухудшает контраст изображения. В большинстве случаев основная часть рассеянных квантов (в данном случае D квант) может быть устранена помощью сетки, собранной из нескольких параллельных свинцовых полос, пропускающих большую часть первичного и препятствующего распространению вторичного излучения.

Д

Рис. 2. Простая модель получения рентгеновского изображения, показывающая распространение первичных и вторичных (рассеянных) квантов

ля последующего изложения полезно разработать простую математическую модель процесса получения рентгенографического изображения. Пусть нам дан монохроматический рентгеновский источник, излучающий кванты с энергией Е, расположенный достаточно далеко от пациента, так что поток квантов можно считать параллельным оси z (рис.2). Изображение при этом регистрируется в плоскости . Предположим, что каждый взаимодействующий с приемником квант локально поглощается, а характеристика приемника является линейной; при этом рентгеновское изображение можно рассматривать как распределение поглощенной энергии квантов. Если N – число квантов, падающих на единицу площади тела человека, а – энергия, поглощаемая элементом поверхности детектора, то справедливо соотношение

где интегрирование ведется вдоль линий пролета первичных фотонов, приходящих в точку с координатами .

– энергия кванта;

– интенсивность первичных квантов;

– интенсивность вторичных квантов;

– линейный коэффициент ослабления излучения в тканях;

– точки входа и выхода излучения из тела пациента;

 – коэффициент поглощения энергии прибора регистратором (зависит от Е и от угла прихода кванта );

• для первичных квантов угол равен нулю и энергия равна Е;

• для вторичных квантов угол произволен , энергия тоже меняется в некоторых пределах;

S – функция, характеризующая рассеивающие свойства вещества;

 – вариация угла рассеяния.

Функция рассеивания S сложным образом зависит от распределения тканей и их положения в организме пациента. Многочисленные экспериментальные исследования и теоретические расчеты позволили для различных частей тел человека установить следующее соотношение.

Распределение почернения:

[1]

преобразование Радона

R – отношение рассеянного излучения к первичному, эта константа определяется либо путем измерений, либо расчетным путем

Получили, что есть преобразование Радона, которое можно интегрировать и использовать для реконструкции томограмм.

Взаимодействие квантов рентгеновского излучения с биологическими тканями

Н

Рис.3. Прохождение моноэнергетических квантов через мягкие биоткани. Приведенные кривые соответствуют энергиям квантов 20, 30, 50, 100 и 150 кэВ

а рис.3 показана зависимость проникающей способности моноэнергетических квантов для биотканей от энергии кванта и толщины слоя биоткани. При низкой проникающей способности (20 кэВ) и малой энергии квантов лишь небольшая часть квантов доходит до приемника изображения, а основная часть поглощается, и лучевая нагрузка на пациента будет очень высокой. Если коэффициент прохождения излучения близок к единице, то различия в проникающей способности через разные ткани будет малым, а контраст в изображении будет низким. Если использовать большую энергию, то лучевая нагрузка становится равной нулю, но лучи проходят тело человека, не взаимодействуя с ним. Следовательно, необходимо использовать принцип "полупрозрачности" тканей, который зависит от толщины исследуемой ткани. На практике энергии квантов находятся обычно в пределах от 17 кэВ (при толщине ткани 1-3 см) до 150 кэВ (при толщине ткани 20-30 см). В указанном диапазоне энергий взаимодействия квантов рентгеновского излучения с биотканью приводит к фотоэффекту и рассеянию.

Фотоэлектрический эффект представляет собой такое взаимодействие квантов, при котором квант рентгеновского излучения поглощается тканью, при этом образуется фотоэлектрон и несколько характеристических рентгеновских квантов. В биоткани фотоэлектрон имеет энергию 150 кэВ и, следовательно, очень быстро поглощается (свободная длина пробега 0,3 мм), это приводит к увеличению лучевой нагрузки. Характеристическое рентгеновское излучение также поглощается в тканях, но длина свободного пробега может достигать 4 см (для элементов с большим атомным числом).

Рассеянное излучение имеет более плавную зависимость от энергии, однако, при рассеянии образуются рентгеновские кванты, энергия которых лишь немного меньше энергии падающего излучения (падающее 25 кэВ – рассеянное 22,8 кэВ, падающее 100 кэВ – рассеянное 71,9 кэВ). Рассеянное излучение создает ту фоновую засветку, которая доходит до регистратора, поэтому его необходимо фильтровать.

Н

Рис.4. Зависимость линейного коэффициента ослабления излучения от энергии кванта для мягких биотканей. Приведены зависимости коэффициентов фотоэлектического поглощения, рассеяния и поглощения (обусловленного рассеянием) от энергии квантов

а рис.4 приведены зависимости линейного коэффициента ослабления от энергии кванта как для фотоэлектрического поглощения, так и для рассеяния. Последний вид взаимодействия не дает вклада в поглощение квантов. На рис.4 приведена также зависимость поглощенной компоненты излучения, обусловленной рассеянием и передачей энергии электронам отдачи. Видим, что при энергиях приблизительно до 25 кэВ для мягких тканей сечение фотоэлектрического процесса больше, чем сечение рассеяния.

Н а рис.5 показаны зависимости линейных коэффициентов ослабления излучения костными и мягкими тканями от энергии. Различие между коэффициентами для этих тканей обусловлено главным образом разницей в сечениях фотоэффекта и плотностями биотканей и ясно показывает, почему рентгеновские лучи столь хорошо подходят для получения изображений переломов костей.

Р

Рис.5. Зависимость линейного коэффициента ослабления от энергии квантов для костных и мягких биотканей

азличие на рис.5 между двумя кривыми и, следовательно, контраст в изображении костной и мягкой тканей уменьшаются с увеличением энергии квантов.

Главное условие: решение реконструкции томограммы представляет собой решение некорректной задачи, малые шума приводят к большим шумам в реконструированной томограмме. Так как не можем увеличивать лучевую нагрузку на человека, необходимо изучать контраст и нерезкость изображения.

Контраст и нерезкость изображения

Рассмотрим простейшую модель объекта, представленную на рис.6.

Т ело пациента заменяется однородным блоком ткани толщиной с линейным коэффициентом ослабления . Внутрь этого блока помещается другой блок ткани (называемой "мишенью") толщиной с линейным коэффициентом ослабления . Ткань мишени – это тот объем, который необходимо в

Рис.6. Простая модель для оценки величины контраста

изуализировать с большой четкостью в проекционной рентгенографии. Контраст в изображении ткани мишени определяется с помощью функций распределения изображения и , которые дают энергию, поглощенную единицей площади поверхности приемника соответственно за пределами изображения ткани мишени и внутри него