2 Теория компьютерной томографии

Получение неискаженного изображения сечения объекта оказалось возможным лишь с появлением вычислительной (или компьютерной) томографии, которая представляет собой процесс получения изображения применительно к медицине.

На первом этапе: объект диагностики зондируется проникающим излучением с различных направлений и прошедшее поле регистрируется.

На втором этапе: вся полученная информация обрабатывается, и реконструируется томограмма.

В 1917 году И. Радон доказал теорему интегральной геометрии о реконструкции функций по их проекциям. Вообще, интегральная геометрия - новая наука, которую начал развивать Радон, а в шестидесятые годы ее продолжил Гельфанд. Основным приложением интегральной геометрии явилась томография.

Предмет изучения интегральной геометрии составляет правило преобразований функций, заданных на одних геометрических объектах, к функциям, заданным на других геометрических объектах.

Пример. Пусть есть функция, которая задана на плоскости.

Перейдем от функции, заданной на плоскости, к функции, заданной на прямой.

Математика, описывающая процесс проецирования, получила название интегральной геометрии.

2.1 Методы получения проекций

1) Пусть есть 3-х мерный объект. Схема получение проекций представлена на рисунке 2.1

Рисунок 2.1 - Схема получение проекций: зондирование трехмерного объекта: 1 – источник; 2 – детекторы; 3 – объект.

Излучение при прохождении через объект поглощается им, и это поглощение накапливается со временем.

Существует два предположения:

• Излучение распространяется прямолинейно или траектория луча должна быть известна

• Взаимодействие излучения с веществом должно быть линейно.

Рассмотрим сечение, схема получения проекции представлена на рисунке 2.2:

Рисунок 2.2. Схема получения проекции (сечение z = const).

Зондируем под углом ₁ получаем некоторую функцию , под другим углом ₂ — .

Полученную функцию можно записать как:

.

А вся функция:

,

где - проекция от функции , полученная под углом .

2) Пусть есть некоторое изображение:

Рис.3. Схема получения проекций при движении экрана:

Рентгеновские лучи не преломляются, они только поглощаются.

Закроем экран непрозрачным экраном. Поставим ФЭУ (приемник, который регистрирует светящиеся точки) и получим интегральную светимость участка:

. S_k — площадь открытого изображения

Переместим экран на величину , и опять измерим энергию:

И затем вычтем: , мы получим светимость полоски. Если , то мы получаем интеграл линии или луч-сумму.

1. Способ, присущий оптике.

Если взять некоторое изображение и его подсветить:

Рис.4. Схема получения проекций оптических изображений:

1 – транспарант; 2 – призма Дове; 3 – цилиндрическая линза; 4 – регистратор.

Далее поставим цилиндрическую линзу, и в фокусе линзы мы получим проекцию изображения. Если вращать изображение, то можно получить различные проекционные данные под различными углами.