Плоская задача в прямоугольных координатах
Описание файла
Документ из архива "Плоская задача в прямоугольных координатах", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "механика деформируемого твёрдого тела (мдтт)" из 11 семестр (3 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "механика деформируемого твердого тела" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Плоская задача в прямоугольных координатах"
Текст из документа "Плоская задача в прямоугольных координатах"
Московский Государственный Технический Университет
им Н.Э.Баумана
Курсовая работа по курсу:
«Механика деформируемого твердого тела»
на тему:
«Плоская задача в прямоугольных координатах»
Группа:
Студент:
Преподаватель:
Москва
Содержание.
| 1. Общие уравнения теории упругости | 3 |
| 1.1. Полная система основных уравнений теории упругости. Свойство единственности. | 3 |
| 1.2. Решение задач теории упругости в перемещениях. | 5 |
| 1.3. Решение задач теории упругости в напряжениях | 9 |
| 1.4. Некоторые замечания об общих уравнениях теории упругости | 12 |
| 2. Основные уравнения плоской задачи теории упругости | 15 |
| 2.1. Плоское деформированное состояние | 15 |
| 2.2. Плоское напряженное состояние | 19 |
| 2.3. Решение плоской задачи в напряжениях | 23 |
| 2.4. Функция напряжений Эри | 24 |
| 2.5. Прямая и обратная задачи | 26 |
| 3. Решение обратной задачи с помощью алгебраических полиномов | 27 |
| 3.1. Общие подходы к решению обратных задач с помощью функции Эри | 27 |
| 3.2. Решение задачи. | 29 |
| Литература | 33 |
1. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.
1.1. Полная система основных уравнений теории упругости. Свойство единственности.
Из выведенных уравнений основными уравнениями теории упругости являются следующие:
I. Дифференциальные уравнения равновесия, связывающие напряжения между собой и объемными силами:
(1.1.1)
II. Закон Гука, выражающий зависимости деформаций от напряжений:
(1.1.2)
(где 
) или обратные зависимости напряжений от деформаций:
(1.1.3)
где 
III. Кинематические соотношения (Соотношения Коши), связывающие деформации с перемещениями:
(1.1.4)
Всего имеем 15 уравнений с 15 неизвестными:
| σ11 | σ12 | ε1 | γ12 | u1 |
| σ22 | σ23 | ε2 | γ23 | u2 |
| σ33 | σ13 | ε3 | γ13 | u3 |
В каждой конкретной задаче в дополнение к этим уравнениям должны быть заданы еще граничные условия на поверхности упругого тела. В зависимости от характера этих условий различают следующие основные виды задач теории упругости:
-
на всей поверхности тела заданы поверхностные силы:
-
на всей поверхности тела заданы перемещения и1, и2, и3;
-
на части поверхности тела заданы поверхностные силы, а на остальной части — перемещения (так называемые смешанные задачи).
Возможны и более сложные граничные условия, например, при контакте нескольких упругих тел.
Граничные условия для случая, когда заданы поверхностные силы, выражаются следующими равенствами:
(1.1.5)
где 
в – направляющий косинус нормали
Для этого вида задач необходимо сделать физически очевидную оговорку: система уравнений имеет решение лишь при условии, что внешние силы, приложенные к телу, взаимно уравновешиваются, и это решение является единственным только для напряжений и деформаций, тогда как в выражения для перемещений входят шесть произвольных постоянных интегрирования, характеризующих поступательное перемещение и поворот тела как целого. Доказательство теоремы единственности принадлежит Кирхгофу.
Для перечисленных трех основных видов задач теории упругости имеет место свойство единственности: система уравнений (I), (II) и (III) при заданных граничных условиях может иметь только одно решение.
Необходимо отметить, что теорема единственности не распространяется на случаи, когда перемещения столь велики, что приближенные уравнения (III), связывающие деформации с перемещениями, должны быть заменены более точными нелинейными зависимостями.
В этих случаях решение остается единственным лишь при нагрузках, не превосходящих определенного предела. При больших нагрузках оказываются возможными две или несколько форм упругого равновесия, причем некоторые из них неустойчивы.
1.2. Решение задач теории упругости в перемещениях.
Из основных уравнений (1.1.1. – 1.1.4.) нетрудно исключить деформации и напряжения и получить дифференциальные уравнения для перемещений u1, u2, u3. Таким образом, число неизвестных, с которыми нужно иметь дело при решении задачи, можно уменьшить до трех.
Для этого в уравнениях (1.1.3) выразим деформации через перемещения с помощью уравнений (1.1.4):
(1.2.1)
а затем подставим их в дифференциальные уравнения равновесия (1.1.1). Первое из полученных уравнений имеет вид:
(1.2.2)
Замечая, что 
(1.2.3)
что и обозначая 
(1.2.4)
(Δu называют лапласианом и), получим дифференциальные уравнения для перемещений в следующем окончательном виде:
(1.2.5)
Но 
, т.к. 
Тогда (1.2.5) можно записать в более привычном виде в виде:
(1.2.5)’
Если на поверхности тела заданы перемещения, то граничные условия для этих уравнений выражаются весьма просто; если же на границе тела заданы поверхностные силы, то граничные условия получим, подставив в зависимости (1.1.5) напряжения, выраженные по формулам (1.2.1).
Эти условия будут иметь довольно сложный вид:
(1.2.6)
Уравнения (1.2.5), выведенные еще Ламэ, долгое время не использовались при решении конкретных задач теории упругости, тем не менее в настоящее время они широко используются в задачах теории упругости, поскольку в этом случае нет необходимости использовать уравнение совместности деформаций (1.1.5), но есть и трудности – если объемные силы отсутствуют то это приводит к однородности задачи.
Г. Д. Гродским и П. Ф. Папковичем независимо друг от друга было найдено и в 1932 г. опубликовано общее решение дифференциальных уравнений (1.2.5) в следующем виде:
(1.2.7)
где Ф0, Ф1 Ф2, Ф3— функции координат х1, х2, х3, удовлетворяющие одному и тому же дифференциальному уравнению
(1.2.8)
Уравнение (1.2.8) называется гармоническим уравнением или уравнением Лапласа. Функции, ему удовлетворяющие, носят название гармонических функций; они хорошо изучены в математике.
Формулы (1.2.7) несколько позже были вновь выведены Нейбером, который успешно использовал их для математического исследования местных напряжений вблизи отверстий и выточек в упругих телах.
Рассмотрим случай, когда объемные силы не зависят от координат или отсутствуют. Дифференцируя первое уравнение (1.2.5) по х1, второе по х2, третье по х3 и складывая их, получим:
но 
(1.2.9)
откуда следует, что
(1.2.10)
Таким образом, в случае постоянных объемных сил первый инвариант тензора деформаций 
будет гармонической функцией координат.
Дифференцируем далее левую часть первого уравнения (1.2.5) дважды по х1 (при условии, что f1 постоянно), дважды по x2 и дважды по x3. Складывая все эти вторые производные, получим:
Но. 
(1.2.11).
так как 
— гармоническая функция, и мы получаем из уравнения (1.2.11) :
(1.2.12)
Второе и третье уравнения выведены аналогично. Уравнение вида
(1.2.13)
называется бигармоническим, а функция 
, ему удовлетворяющая, — бигармонической функцией. Как это следует из (1.2.12), перемещения и1, и2, и3 упругого тела в случае постоянства объемных сил будут бигармоническими функциями координат.
Зная гармонические функции, можно найти также и бигармонические функции; так, легко проверить непосредственным дифференцированием, что выражение
где ψ0, ψ1, ψ2, ψ3, ψ4 — гармонические функции, удовлетворяет уравнению (1.2.13).
1.3. Решение задач теории упругости в напряжениях
При решении многих задач теории упругости, в которых заданы поверхностные силы, удобнее пользоваться не уравнениями (1.2.5) с граничными условиями (1.2.6), а более сложной системой уравнений, которая получается, если из основных уравнений (1.1.1) — (1.1.4) исключить перемещения и деформации, оставив в качестве неизвестных шесть компонент напряжений σ11, σ22, σ33, σ12, σ23, σ13. Большая сложность системы дифференциальных уравнений искупается при этом простотой граничных условий и тем, что окончательные формулы для напряжений в большинстве конкретных практических задач получаются гораздо более простыми, чем формулы для перемещений, и поэтому их легче найти.
Напряжения должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия (1.1.1). Для получения дополнительных уравнений нужно прежде всего исключить из уравнений (1.1.4) перемещения и1, и2, и3.
В результате этого исключения были получены условия сплошности (неразрывности) для деформации
(1.3.1)
Затем нужно подставить в (1.3.1) выражения деформаций через напряжения; последние удобно взять в форме
(1.3.2)
где 
(1.3.3)
представляет собой первый инвариант тензора напряжений.
