Плоская задача в прямоугольных координатах, страница 2

Выполнив указанную подстановку, получим шесть уравнений (выписываем только первое, третье и четвертое уравнения)

(1.3.4)

Это и есть условия сплошности, выраженные в напряжениях.

Зависимости (1.3.4) можно привести к более удобному виду, пользуясь тем, что входящие в них напряжения должны удовлетворять уравнениям равновесия (1.1.1). Для этого нужно произвести следующие преобразования.

Сложив первое и третье уравнения (1.3.4), получим равенство

(1.3.5)

которое после простой перегруппировки слагаемых принимает вид:

(1.3.6)

Заменяя в (1.3.6) х₁ на х₂ и на х₃, соответственно получим:

(1.3.7)

Складывая равенство (1.3.6) с двумя равенствами (1.3.7), будем иметь

(1.3.8)

Подставляя ΔJ₁ из (1.3.8) в (1.3.6), находим в окончательном виде одно из первой группы искомых уравнений

(1.3.9)

Одно из второй группы искомых уравнений получим, преобразовывая четвертое уравнение (1.3.4) следующим образом:

(1.3.10)

что после простой перегруппировки слагаемых дает

(1.3.11)

Окончательно преобразованные условия сплошности, выраженные в напряжениях (называемые также зависимостями Бельтрами — Митчела), имеют вид:

(1.3.12)

Если учесть что то первые 3 уравнения из (1.3.12) примут вид:

Если объемные силы отсутствуют или не зависят от координат (как, например, собственный вес), то правые части уравнений (3.12) обращаются в нуль и эти уравнения принимают очень простой вид. Как видно из (3.8), в этом случае первый инвариант тензора напряжения J₁ является гармонической функцией. Легко также показать, что все составляющие тензора напряжения будут при этом бигармоническими функциями координат; для этого достаточно применить оператор Лапласа

к уравнениям (1.3.12). Эти бигармонические функции не будут неза­висимыми, так как они связаны между собой уравнениями равновесия (1.1.1).

Решение задач теории упругости в напряжениях сводится, таким образом, к нахождению шести неизвестных функций удовлетворяющих девяти дифференциальным уравнениям (1.1.1) и (1.3.12) и трем граничным условиям (1.1.5).

Здесь имеется та своеобразная математическая особенность, что число дифференциальных уравнений (девять) больше, чем число неизвестных функций (шесть), но зато число граничных условий (три) меньше, чем число неизвестных функций. Тем не менее, как очевидно из физического смысла задачи, этих дифференциальных уравнений и граничных условий оказывается как раз достаточно для определения неизвестных напряжений.

1.4. Некоторые замечания об общих уравнениях теории упругости

В предыдущих параграфах были выведены нижеперечисленные общие уравнения теории упругости в декартовых координатах:

1. Дифференциальные уравнения равновесия (1.1.1).

2. Зависимости между напряжениями и деформациями (Закон Гука): прямые (1.1.2) и обратные (1.1.3).

3. Кинематические соотношения (Соотношения Коши), связывающие деформации с перемещениями (1.1.4)

4. Граничные условия (1.1.5) на той части поверхности тела, на которой заданы внешние силы.

5. Дифференциальные уравнения для перемещений (1.2.5).

6. Выраженные в перемещениях граничные условия (1.2.6) на той части поверхности тела, на которой заданы внешние силы.

7. Условия сплошноcти (неразрывности) (1.3.1), связывающие между собой деформации.

8. Условия сплошности (неразрывности) (1.3.2), выраженные в напряжениях.

При решении задач в цилиндрических координатах обычно используются дифференциальные уравнения равновесия (1.1.1) (соответствующие системе уравнений I) и зависимости между перемещениями и деформациями (1.1.4) (соответствующие системе III). Зависимости между напряжениями и деформациями и граничные условия в цилиндрических координатах получаются из соответствующих зависимостей в декартовых координатах II и IV простой заменой индексов х₁, х₂, х₃ индексами r, θ, z.

Системы уравнений V—VIII в цилиндрических координатах не; приведены ввиду их сложности.

Уравнения Ламе для прямого стержня.

Уравнение Ляме

Упрощения при расчете прямых стержней:

1.

2. , не зависит от и (Гипотеза плоских сечений)

3.

4. деформации

5.

Преобразуем уравнения Ламе:

Уравнения Бельтрами-Митчелла для прямого стержня.

Упрощения при расчете прямых стержней:

1.

2. , не зависит от и (Гипотеза плоских сечений)

3.

4. деформации

5.

Уравнения Бельтрами-Митчелла:

С учетом упрощений:

Интегрируем:

Константа интегрирования будет равна 0, так как должно выполняться условие (1.1.1).

2. Основные уравнения плоской задачи теории упругости

Обширным и практически важным классом задач в теории упругости являются так называемая плоская задача, в которой все параметры напряженного и деформированного состояния зависят только от двух координат, а не трех как в трехмерной теории упругости.

Такие условия напряженного и деформированного состояния встречаются во множестве реальных конструкций. Задачи возникающие при этом подразделяют и описывают 2 типа плоской задачи:

– Плоское деформированное состояние (ПДС)

– Плоское напряженное состояние (ПНС)

2.1. Плоское деформированное состояние

Плоское деформированное состояние – плоская деформация – такое состояние тела при котором перемещения всех его точек происходит параллельно какой либо одной и той же плоскости называемой плоскостью деформации. Если плоскость деформации совпадает с плоскостью то в ПДС считается что , а и , а называется плоскостью деформации.

Для ПДС, если в таком состоянии находится тело, существует также ось (пусть это будет ) для которой все перпендикулярные к ней площадки тела будут главными , т. е. в них существуют только нормальные напряжения и .

для ПДС: (2.1.1)

(1.1) – условия существования ПДС в теле.

Преобразуем полную систему уравнений теории упругости для случая ПДС:

I. Уравнения равновесия:

(2.1.2)

II. Уравнения, связывающие деформации с перемещениями:

(2.1.3)

III. Закон Гука:

(2.1.4)

Из последнего уравнения следует что

(2.1.4)’

Таким образом соотношения (1.2) - (1.4) показывают что в ПДС все параметры напряженного и деформированного состояния являются функциями координат и , при этом соотношения для закону Гука при ПДС с учетом с (1.4)’ могут быть записаны в следующем виде:

(2.1.4)’’

где

Тогда (2.1.4)’’’

где

Обратная форма закона Гука

(2.1.4)’’’’

IV. Граничные условия:

- силовые граничные условия

(2.1.5)

- геометрические граничные условия

(2.1.6)

V. Уравнения неразрывности деформации (сплошности):

В нашей плоской задаче из 6 уравнений трехмерной теории упругости (2.3.1) остается только одна:

(2.1.7)

Уравнения Ламе для ПДС.

Уравнения Ламе:

Условия существования ПДС в теле:

Преобразуем уравнения Ламе:

Уравнения Бельтрами-Митчелла для ПДС.

Уравнения Бельтрами-Митчелла:

Условия существования ПДС в теле:

Преобразуем уравнения Бельтрами-Митчелла:

2.2. Плоское напряженное состояние

Под ПНС понимается такое напряженное состояние, которое реализуется во многих упругих телах, форма которых подобна тонкой пластинке, причем такое пластинчатое тело может быть нагружено внешними силами только в своей плоскости, т.е. по поперечному сечению.

Предполагается что внешние силы равномерно распределены по толщине пластины, или приложены симметрично относительно срединной поверхности (плоскости), такой плоскости которая равноудалена от внешних поверхностей.

На внешних поверхностях перпендикулярных оси нагрузка отсутствует, т.е. и .

При ПНС перемещения и деформации являются только функциями от коодинат .

Внешние силы:

- объемные силы

- контурные силы

Преобразуем полную систему уравнений теории упругости для случая ПНС:

I. Уравнения равновесия:

(2.2.1)

II. Уравнения, связывающие деформации с перемещениями:

(2.2.2)

III. Закон Гука:

(2.2.3)

IV. Граничные условия (такие же как для ПДС):

- силовые граничные условия