матан 1 модуль (Вся теория для 1 курса в ворде !!), страница 2

Доказательство: Пусть , . Тогда и . Следовательно

, .

Выражения в скобках, по свойствам бесконечно малых функций, - бесконечно малая функция. Тогда , т.е. .

3)Предел частного двух функций равен пределу делимого, деленного на предел делителя, если предел делителя не равен: . Доказательство: Пусть , . Тогда и . Тогда . По свойствам бесконечно малых функций, второе слагаемое – бесконечно малая функция.

Поэтому , т.е.

1. вопрос 10 Теорема о пределе сложной функции (с доказательством).

1. вопрос 11 Теорема о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел ( с доказательством).

Теорема: Если , то существует окрестность точки а, в которой и знак совпадает со знаком значения b.

Доказательство: по условию , т.е. , или справедливы неравенства . Возьмём за число . Тогда , , являются числами одного знака. Следовательно, в силу неравенства , и имеет знак числа b в указанной -окрестности точки а.

1. вопрос 12 Теорема о предельном переходе в неравенстве (доказательство для функции и последовательности).

1. вопрос 13 Теорема о пределе промежуточной функции (доказательство для функции и последовательности).

Теорема Пусть функции и имеет конечный предел А при и пусть тогда Доказательство:

,

,

Рассмотрим , начиная с некоторого номера N и , будут одинакого выполняться . Значит,

Предел промежуточной последовательности

1. вопрос 14 Первый замечательный предел (с выводом). Второй замечательный предел (вывод для функций с использованием теоремы Вейерштрасса для последовательностей).

Вывести 1 замечательный предел:

Пусть , .Проведем геометрическое доказательство, основанное на очевидном соотношении между тремя площадями: Ясно, что , s2(сектор оab) но

, т.е.

, т.к. .

Второй замечательный предел:

Рассмотрим последовательность , . Покажем, что последовательность ограничена и возрастает. Сначала докажем монотонность. Воспользуемся биномом Ньютона: Полагая, что  a=1,   b= 1/n получим: Из равенства  (*)следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число 1/n — убывает, поэтому величины , (1-1/n),... возрастают. Поэтому последовательность  — возрастающая, при этом Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (*) на единицу. Правая часть увеличится, получим неравенство: Усилим полученное неравенство, заменив числа 3,4,5...,n, стоящие в знаменателях дробей, числом 2: Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии: Поэтому: Итак, последовательность ограничена, при этом для выполняются неравенства (**) и (***) : Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность имеет предел, обозначаемый обычно буквой  e : Определение: Числом е называется предел последовательности т. е.

1. вопрос 15 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших функциях(с доказательством). Выделение главной части.

а) Сравнение бесконечно малых функций

     Для определения бесконечно малых и бесконечно больших функций воспользуемся, так называемым сравнением функций. Пусть у нас есть две функции p(x) и q(x), которые стремятся к А при аргументе x стремящемся к А. И будем рассматривать предел их отношения при аргументе x, стремящемся к некоторому числу A. Тогда возможны следующие варианты:

1) , т.е. предел отношения функций существует и он равен нулю, в этом случае говорят, что p(x) бесконечно малая функция более высокого порядка и принято обозначать p(x) = o(q(x)).

2) , т.е. предел отношения функций существует и он равен С - некоторой константе, в этом случае говорят, что p(x) и q(x) бесконечно малые функции одного порядка и принято обозначать p(x) = O(q(x)).

3) Если данный предел: не существует, в этом случае мы ничего не можем сказать о сравниваемых функциях и поэтому говорят, что функции не сравнимы.

4) , т.е. предел отношения функций существует и он равен бесконечности, в этом случае говорят, что g(x) бесконечно малая функция более высокого порядка и принято обозначать q(x) = o(p(x)).

1. Сравнение бесконечно больших функций Также как и в предыдущем пункте будем рассматривать предел отношения двух функций. Только теперь у нас функции стремятся к бесконечности при аргументе x, стремящемся к А. Возможны следующие варианты:

1) , т.е. предел отношения функций существует и равен бесконечности. В этом случае говорят, что p(x) бесконечно большая функция более высокого порядка.

2) , т.е. предел отношения функций существует и равен С - некоторой константе. В этом случае говорят, что p(x) и q(x) бесконечно большие функции одного порядка.

3) , т.е. предел отношения функций существует и равен нулю. В этом случае говорят, что q(x) бесконечно большая функция более высокого порядка.

4) Если данный предел: не существует, в этом случае мы ничего не можем сказать о сравниваемых функциях и поэтому говорят, что функции не сравнимы.

1. вопрос 16 Непрерывность функции действительного переменного в точке. Теорема о непрерывности сложной функции (с доказательством).

Теорема:

1. вопрос 17 Точки разрыва и их классификация. Доказательство непрерывности функции многочлена и y=sin x.

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

• Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;

• Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

• Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

• Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

1. вопрос 18 Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировки соответствующей теоремы).

Функцию f(x) называют непрерывной на [a,b], если она непрерывна на (a,b) и непрерывна справа в точке x=a и непрерывна слева в точке x=b.

Первая теорема Вейерштрасса. Если f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом отрезке. .Вторая теорема Вейерштрасса. Если f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего (наибольшего) значения. Первая теорема Больцано-Коши. Функция , тогда

Доказательство: [a,b] разделим пополам и получим отрезки [a,a+b/2] и [a+b/2,b]. Из них выберем тот, на концах которого ф-ция принимает значения, разные по знаку и обозначим [a1,b1], f(a1)*f(b1)<0. С этим отрезком поступим так же. [a1,a1+b1/2] и [a1+b1/2,b1]. Выберем отрезок с разными по знаку концами. Когда-нибудь получим отрезок . . При , . Получим систему вложенных отрезков . Если при делении отрезка пополам значение функции в середине отрезка равно нулю, то теорему можно считать доказанной. Система вложенных отрезков, длина которых стремится к нулю, имеет одну общую точку => существует точка С. Докажем, что f(с)=0. Предположим, что . Для определенности f(c)>0. Т.к. ф-ция непрерывна на отрезке [a,b], то она непрерывна в точке С. Раз f(c)>0, то ; - притиворечие, что и треб. доказ.

Вторая теорема Больцано-Коши.

Пусть непрерывна на [a,b] и на концах отрезка принимает значения B и A, ( , тогда для любого числа С: .

Доказательство. Рассмотрим F(x)=f(x)-C.

1. F(x) непрерывна на отрезке, как разность двух непрерывных функций.

2. F(a)*F(b)<0

По первой теореме Б-К .