матан 1 модуль (Вся теория для 1 курса в ворде !!)

МОДУЛЬ 1: Элементарные функции и пределы

1. вопрос 1Числовая последовательность. Предел последовательности; сходящиеся и расходящиеся последовательности. Теорема о единственности предела сходящийся последовательности(с доказательством).

Последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел.

Число A называется пределом числовой последовательности {an}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε > 0, найдется такое число N (зависящее от ε), что для всех членов последовательности с номерами n > N верно неравенство: |an - A|< E.

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся, в обратном случае последовательность расходится.

Теорема о единственности предела сходящийся последовательности: Последовательность не может иметь больше одного предела. Доказательство. Это следует из того, что последовательность не

может одновременно приближаться к двум разным числам одновременно.

Формально, выберем ε значительно меньше разницы между числами A и B.

Тогда очевидно, что мы не сможем указать такого номера N, начиная с

которого одновременно будут выполнены два условия: |an - A|< E и |an - В|< E

Этими рассуждениями теорема доказана.

1. вопрос 2 Ограниченная числовая последовательность. Теорема об ограниченности сходящийся числовой последовательности. Признак Вейерштрасса сходимости монотонной последовательности (формулировка).

Последовательность ограничена, если найдется такое положительное число, для которого все члены последовательности по модулю окажутся не больше этого числа. {an}- ограничена, если существует М>0: |an|<= M любой n принадл. N

Теорема Вейерштрасса. (Основная теорема теории последовательностей). Если последовательность {an} является нестрого возрастающей (нестрого убывающей) и {an} ограничена сверху (снизу), то {an} является сходящейся. Данную теорему можно сформулировать немного иначе - Любая монотонная и ограниченная последовательность {an} имеет предел.

1. вопрос 3 Определения по Коши конечного и бесконечного предела функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы функции. Определение предела функции по Гейне. Теорема о связи двустороннего предела функции в точке с односторонними пределами (с доказательством).

Предел функции в бесконечности:  Число A называется пределом функции y=f(x) при x стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного ε, найдется такое число M(зависящее от ε), что для всех x таких, что |x|>M, выполнено неравенство: |f(x) - A|< ε.

Предел функции в точке:Число A называется пределом функции y = f(x) при x → a, если для любого, даже сколь угодно малого положительного для любого, даже сколь угодно малого ε > 0, найдется такое число δ > 0 (зависящее от ε), что для всех x из δ-окрестности точки a, выполнено неравенство: |f(x) - A|< ε.

Односторонние пределы: Пределом функции f(x) в точке x=a слева называется предел, вычисляемый в предположении, что x → a, оставаясь все время меньше значения a. Аналогично, пределом справа называется предел функции f(x) при x → a, при том, что x > a. Односторонние пределы обозначаются так:

Односторонним пределом функции называется предел справа или предел слева.

По Гейне: Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если для любой последовательности {xn} прин D(f), которая сходится к , соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} сходится к b.

1. вопрос 4 Теорема о единственности предела функции(с доказательством).

Теорема: Последовательность точек расширенной числовой прямой R может иметь на этой прямой только один предел.

Допустим противное. Пусть существует такая последовательность x_n прин. R , n = 1, 2, ..., что = a  и = b, причем a не равно b, a прин. R , b прин. R . Возьмем какие-либо непересекающиеся окрестности U = U(а) и V = V(b) точек а и b : U  V = . Согласно определению предела вне окрестности U точки а, в частности в окрестности Vточки b, содержится лишь конечное число членов последовательности {x_n}. Однако точка b также является ее пределом, и потому в ее окрестности V должны находиться все члены последовательности {x_n}, начиная с некоторого номера, а следовательно, бесконечно много ее членов. Получилось противоречие. 

1. вопрос 5 Ограниченные и локально ограниченные функции. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел( с доказательством).

Локально ограниченная -- это значит ограниченная на каком-то множестве аргументов, то есть можно указать такие значения a и b, что a <= f(x) <= b для любого x из этого множества.

Теорема (локальная ограниченность функции, имеющий предел).Если предел f(x) при x → x0 равняется А, то найдется окрестность x0 , во всех точках которых функция  f(x) ограниченна. Положим ε = 1. Из условия теоремы следует существование окрестности: . Следовательно:

Отсюда для указанных х     что и означает ограниченность f(x) в .

1. вопрос 6 Бесконечно малые функции. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой ( с доказательством).

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x → x0 если , По определению предела функции это равенство означает, что для любого числа ε > 0 найдется число б = б(ε) > 0 , такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству 0 <|x-x0|<б, выполняется неравенство |f(x)| < ε.

Запишем это определение, используя логическую символику:

Теорема: Для того, чтобы функция , определённая в имела конечный предел при x → a, необходимо и достаточно чтобы эту функцию можно было представить в виде суммы предела и б.м.ф. при x → a ( , где - б.м.ф. при x → a).

Доказательство: I Необходимость:

Дано: Доказать: , где - б.м.ф. при x → a.

Пусть по определению б.м.ф - б.м.ф. при x → a.

II Достаточность: Дано: , где - б.м.ф.

при x → a. Доказать:

1. вопрос 7 Теорема о сумме конечного числа бесконечно малых функций ( с доказательством). Теорема о произведении бесконечно малой на ограниченную (с доказательством).

Теорема (сумма бесконечно малых величин). Если функции а(х) и δ(х) являются бесконечно малыми, то их сумма а(х) + δ(х) -бесконечно малая. Доказательство. Пусть ε - произвольное положительное число. Так

как функции а(х) и δ(х) бесконечно малые, то найдутся такие числа δ1 и δ2,

что при 0 < |x-a|< δ1 и 0 < |x-a|< δ2 имеют место неравенства:

Обозначим через δ наименьшее из двух чисел δ1 и δ2. Тогда при 0 < |x-a|< δ будет выполнено: Этим доказано, что для любого ε > 0 существует такое число δ > 0, что при 0 < |x-a| < δ выполнено неравенство: |а(х) + δ(х)| < ε, сумма бесконечно малых есть бесконечно малая. Следствием теоремы является ее распространение на случай алгебраической суммы любого конечного числа бесконечно малых.

Теорема (произведение бесконечно малой величины на ограниченную величину). Произведение бесконечно малой величины на ограниченную величину есть бесконечно малая величина. Доказательство. Пусть f(x) – ограниченная при x → a функция, а а(х) бесконечно малая. Тогда существует такое число M > 0, что для всех x, достаточно близких к a. Для ε > 0 существует δ > 0, что при условии 0 < |x-a| < δ одновременно выполняются неравенства: Составим произведение: Этим доказано, что произведение бесконечно малой на ограниченную величину есть бесконечно малая.

1. вопрос 8 Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функции ( с доказательством).

Функция y = f(x) называется бесконечно большой величиной при x → a (или при x → ∞), если для любого, даже сколь угодно большого числа M > 0 найдется δ (зависящее от M), что для всех x таких, что 0 < | x – a |< δ,

выполнено неравенство: | f (x)| > M. Бесконечно большая величина больше любого наперед взятого большого числа. Бесконечно большой величиной называется переменная величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает.

Теорема (связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами).

(1) Если α (x) – бесконечно малая, то 1/ α (x) бесконечно большая.

1. Если β (x) – бесконечно большая, то 1/ β (x) бесконечно малая.

Доказательство. (1) Выберем M > 0 и обозначим 1/ M = ε. Так как α (x) бесконечно малая, то числу ε > 0 соответствует δ > 0 такое, что при 0 < |x-a| < δ выполняется неравенство: Следовательно, Эта величина является бесконечно большой. (2) Выберем ε > 0 и обозначим 1/ε = М. Так как β(х) бесконечно большая, то числу M соответствует δ > 0, такое, что при 0 < |x-a| < δ выполняется неравенство: Следовательно, Эта величина является бесконечно большой.

1. вопрос 9 Теорема о пределе суммы, произведения и частного функции (доказательство для функции и последовательности).

1)Предел суммы двух функций равен сумме их пределов: Доказательство: Пусть , . Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции можно записать: и . Следовательно, , где - бесконечно малая функция (по свойству бесконечно малых функций). Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции можно записать , или .

2)Предел произведения двух функций равен произведению их пределов: .