KursovayaRabotaEIE (Курсач бессонов вариант 17, задачи 1.1 и 1.2), страница 2

Алгебраическая сумма токов в ветвях, подсоединенных к узлу, равна нулю. Условимся: подтекающие к узлу токи записывать со знаком «+», а оттекающие – со знаком «-». Тогда выражение для токов попервому закону Кирхгофа для приведенной на рис. 1.10 части схемы можно записать ввиде I₁ + I₂ + I₃ – I₄ – I₅ = 0.

Первый закон Кирхгофа вытекает из принципа непрерывностиэлектрического тока – полный ток сквозь взятую в какой угодно среде замкнутую поверхность равен нулю. Физический смысл: линии тока не имеют ни начала, ни конца, они являются замкнутыми.

Второй закон Кирхгофазаписывается для контуров электрической цепи:

Алгебраическая сумма напряжений вдоль контура равна нулю

или .

Алгебраическая сумма падений напряжений в любом контуре равна алгебраической сумме ЭДС в том же контуре.

1. Расчет электрической цепи по законам Кирхгофа

   1. Алгоритм расчета

Алгоритм расчета электрической цепи по законам Кирхгофа комментируется на примере схемы, изображенной на рис.1.12.

1. Произвольно выбираем условно положительное направление токов.

2. Определяем количество необходимых уравнений.

Пусть в – общее число ветвей, в_J – число ветвей с источниками тока, у – число узлов, тогда в – в_J - число искомых токов; n_I = (у -1) –число уравнений, оставленных по первому закону Кирхгофа, n_II = (в – в_J) – (у – 1) – число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа.

Например, для схемы, изображенной на рис. 1.12 при в = 4, в_J = 1, у = 2, количество уравнений n_I =1 и n_II = 2.

3. Выбираем независимые контуры, количество которых равно найденному количеству уравнений по второму закону Кирхгофа. Задаем положительное направление их обхода.

4. По первому и второму законам Кирхгофа с учетом правил выбора знаков составляем систему уравнений

5.Определяем неизвестные токи, решая совместно уравнения.

6. В случае необходимости проводим анализ полученного результата: если какой-либо ток получен с отрицательным знаком, то его действительное положительное направление противоположно условно положительному, выбранному вначале.

1. Потенциальная диаграмма

Под потенциальной диаграммой понимают график распределения потенциала вдоль замкнутого контура. На рис. 1.13 показана потенциальная диаграмма контура abcda для случая, когда потенциал точки a принят равным нулю.

При построении потенциальной диаграммы потенциал, равный нулю, может быть присвоен любому одному узлу.

Потенциальная диаграмма – графическое отображение второго закона Кирхгофа.

1. Метод контурных токов

Вообразим, что в трех независимых контурах приведенной на рис. 1.14 электрической цепи имеются токи, замыкающиеся только в этих контурах – контурные токи I₁₁, I₂₂, I₃₃.

Тогда в ветвях цепи должны быть справедливымиследующие соотношения между контурными и реальнымитоками:

I₁ = I₁₁,

I₂ = I₂₂ – I₁₁,

I₃ = I₃₃ – I₁₁, (1.1)

I₄ = – I₂₂,

I₅ = I₃₃ – I₂₂,

I₆ = I₃₃.

Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для первого контура, считая направление обхода контура совпадающим с направлением контурного тока I₁₁: I₁R₁ – I₃ R₃ – I₂ R₂ = E₁ – E₃.

Заменим реальные токи I₁, I₂, I₃ на контурные, как это сделано в (1.1),

Тогда I₁₁R₁ – I₃₃ R₃ + I₁₁R₃ – I₂₂ R₂ + I₁₁R₂ = E₁ – E₃.

Сгруппируем. В полученном выражении при токе I₁₁ будет записана сумма сопротивлений, входящих в первый контур – собственное сопротивление контура, а при токах I₂₂ и I₃₃ – взаимные сопротивления между первым и соответственно вторым и третьим контурами.

Аналогично, для второго и третьего контуров можно записать два

Других уравнения. Получим систему трех уравнений

Из системы уравнений (1.2) находят контурные токи, по которым определяют в соответствии с (1.1) реальные токи.

Общее выражение для случая n-го количества независимых контуров можно записатьгде R₁₁, R₂₂, R_nn – собственные сопротивления соответственно первого, второго и n-го контуров, равные сумме всех сопротивлений, входящих в рассматриваемый контур; R12, R23, …, R_km – взаимное сопротивление между соответственно первым и вторым, вторым и третьим, км и m –м контурами; E₁₁, E₂₂, …, E_nn – контурная ЭДС n-го контура, равная алгебраической сумме ЭДС, входящих в рассматриваемый контур.

1. Алгоритм расчета

1.Определяем количество независимых контуров, используя выражение для нахождения количества уравнений по второму закону Кирхгофа:

n_II = (в – в_J) – (у – 1).

2. В соответствии с расчетным количеством уравнений составляем систему уравнений в общем виде по типу (1.3).

3. Выбираем независимые контуры, задаемся в них условно положительными направлениями контурных токов.

4. Определяем собственные и взаимные сопротивления, контурные ЭДС. Собственным сопротивлениям R_nn всегда присваиваетсязнак «+», тогда как взаимные сопротивления R_km войдут в системууравнений со знаком «+» или «-» в зависимостиот того, совпадает ли направление контурного тока рассматриваемого контура с направлением другого контурного тока в ветви с взаимным сопротивлением. В случае совпадения взаимному сопротивлению присваиваем знак «+».

На практике рекомендуется использовать следующее правило:если контурныетоки выбраны в одном и том же направлении, например, по часовой стрелке, то собственным сопротивлениям контуров присваивается знак «+», тогда как все взаимные сопротивления войдут в систему уравнений со знаком «-».

5. Решаем полученную систему относительно контурных токов.

6. Задавшись произвольно условно положительным направлением токов, находим их по рассчитанным контурным токам.

7. В случае необходимости проводим анализ полученного результата.

1. Особенности формирования уравнений по методу контурных токов для электрических цепей с источниками тока

Запись уравнений по методу контурных токов в цепях систочниками тока может бытьосуществлена из условия, чтоодин из контурных токов известен и равен току источника тока (рис. 1.15).

Другой способ формирования уравнений заключается в том, что можно составить уравнения после эквивалентного преобразованияисточника тока в источник ЭДС, как показано на рис. 1.16.

Системы уравнений (1.4) и (1.5) тождественны, следовательно, обаприведенных подхода к составлению уравнений по методу контурных токовдля электрическихцепей систочниками тока могут быть использованы на практике.

1. Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов основан на реализации первого закона Кирхгофа. Количество уравнений, необходимых для отыскании потенциалов узлов электрической цепи, соответствует количеству уравнений, составленных попервому закону Кирхгофа n_I = у – 1.

Рассмотрим принципы формирования одного изуравнений системы уравнений пометоду узловыхпотенциалов на примересхемы, изображенной на рис. 1.17.

Запишем уравненияпо первому закону Кирхгофа для первого узла

J + I'₁ – I₁ – I₂ – I'₂ –I₃ =0.

Используя обобщенный закон Ома, перепишем исходное уравнение в виде

Подобные уравнения могут быть записаны и для остальных узлов схемы.

Для n количества узлов может быть записана система из (n-1) уравнений

где G_kk – сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле k (собственная проводимость k-го узла), G_km – сумма проводимостей ветвей,соединяющих k-й и m-й узлы (общая проводимость), J_kk – узловой ток k-го узла, который может быть определен из выражения:

Правило знаков: собственная проводимость узлов всегда входит в систему со знаком «+», общая проводимость – со знаком «-». Если направление источника тока или источника ЭДС к узлу, то соответствующему слагаемому узлового токаприсваивается знак «+».

1. Алгоритм расчета

1.Определяем необходимое количество уравнений.

2. В соответствии с расчетным количеством уравнений составляем систему уравнений в общем виде по типу (1.6).

3. Нумеруем узлы схемы, один из которых заземляем, т.е. принимаем величину его потенциала равной нулю.

4. Рассчитываем собственные проводимости G_kk, общие проводимости G_km и узловые токи J_kk.

5. Решаем полученную систему относительно потенциалов узлов.

6. Задаемся условно положительным направлением токов и определяем их в общем случае по обобщенному закону Ома. I_k = [± E_k ± (j_k - j_m)] G_km.

7. В необходимых случаях проводим анализ полученных результатов расчета.

1. Метод двух узлов

Если в схеме присутствуют два узла, как это показано на рис.1.18, то составляется только одно уравнение, которое непосредственно вытекает из системы (1.6)

Токи в ветвях находим по закону Ома для участка цепи или по обобщенному закону Ома.

1. Практическая часть

1. Задача 1.1 Линейные электрические цепи постоянного тока

Чертим схему, соответствующую 17 варианту типового расчета.

1)Упростим схему, заменяя последовательно и параллельно соединенные резисторы четвертой и шестой ветвей эквивалентными. Уберем также источник тока, который по условию равен нулю.

Для последовательного соединения: R₆ =R^’₆ + R^’’₆ = 33Ом.

Для параллельного соединения: R₄= = 60 Ом.

Покажем произвольно направление токов в ветвях. Если по результатам расчета значение тока получится отрицательным, это значит, что действительной направление тока противоположно показанному на рисунке.