Линейные Пространства (Задачи для подготовки к экзамену - Решение), страница 2

Ранг системы векторов равен 3, поэтому размерность линейной оболочки также равна 3. Из последней матрицы также можно определить, что в качестве базиса линейной оболочки можно выбрать векторы , , .

Общий вид векторов линейной оболочки:

Из последней матрицы также следует, что дополнением этого базиса до базиса всего пространства является вектор .

2.12. Доказать, что многочлены вида образуют линейное подпространство в пространстве Р₂. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Решение:

Поскольку

то многочлены данного вида образуют линейную оболочку для системы многочленов и поэтому образуют линейное подпространство пространства Р₂.

Данные вектора, очевидно, линейно независимы и поэтому образуют базис своей линейной оболочки.

Количество векторов базиса подпространства равно 2, поэтому размерность подпространства L также равна 2, и сами вектора образуют в ней базис: . Очевидным дополнением этого базиса до базиса всего пространства является линейно независимый с ними вектор

2.13. Доказать, что многочлены вида образуют линейное подпространство в пространстве Р₃. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Решение:

Поскольку

=

то многочлены данного вида образуют линейную оболочку для системы многочленов и поэтому образуют линейное подпространство пространства Р₃.

Находим ранг данной системы: в каноническом базисе многочлены данной системы могут быть записаны как . Находим ранг этой системы векторов:

Ранг системы векторов равен 3, поэтому размерность подпространства L также равна 3, и сами вектора образуют в ней базис: . Из последней матрицы также следует, что очевидным дополнением этого базиса до базиса всего пространства является вектор

2.14. Пусть L – множество многочленов степени не выше 2, удовлетворяющих условию . Доказать, что L - линейное подпространство в пространстве Р₂. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Решение:

Множество многочленов степени не выше 2, удовлетворяющих условию , образует подпространство в Р₂, поскольку при умножении таких многочленов на любое число и сложении получается многочлен, для которого выполняется указанное свойство.

При этом если многочлен принадлежит этому подпространству, то

Пространство решений последнего уравнения имеет размсерность 2, поэтому размерность подпространства L также равна 2. Выбирая два базисных решения последнего уравнения, получаем базис подпространства L: . Очевидным дополнением этого базиса до базиса всего пространства является вектор

2.15. Пусть L – множество многочленов степени не выше 2, удовлетворяющих условию . Доказать, что L - линейное подпространство в пространстве Р₂. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Решение:

Множество многочленов степени не выше 2, удовлетворяющих условию , образует подпространство в Р₂, поскольку при умножении таких многочленов на любое число и сложении получается многочлен, для которого выполняется указанное свойство.

При этом если многочлен принадлежит этому подпространству, то

Пространство решений последнего уравнения имеет размсерность 2, поэтому размерность подпространства L также равна 2. Выбирая два базисных решения последнего уравнения, получаем базис подпространства L: . Очевидным дополнением этого базиса до базиса всего пространства является вектор

2.16. В пространстве Р₂ задана система многочленов , , . Найти размерность и базис линейной оболочки этой системы многочленов. Записать общий вид многочленов, принадлежащих линейной оболочке. Дополнить базис линейной оболочки до базиса пространства Р₂.

Решение:

В данную систему входят 3 вектора, что равно размерности пространства Р₂.

В каноническом базисе многочлены данной системы могут быть записаны как . Находим ранг этой системы векторов:

Ранг системы векторов равен 2, следовательно, размерность линейной оболочки данных векторов также равен 2. В качестве базиса линейной оболочки можно взять два первых вектора системы, т.е.

Общий вид многочленов принадлежащих линейной оболочке этих векторов: , Для дополнения базиса линейной оболочки до базиса пространства Р₂, как следует из последней матрицы определения ранга, можно выбрать вектор .

2.17. Образуют ли многогчлены , , , базис в пространстве Р₃?

Решение:

Данная система включает 4 многочлена, что равно размерности пространства Р₃, поэтому для того, чтобы доказать, что данная система образует базис в пространстве Р₃ многочленов степени не выше 3, достаточно доказать ее линейную независимость. В каноническом базисе многочлены данной системы могут быть записаны как . Определитель, составленный из координат этих векторов, равен

Следовательно, данная система векторов линейно независима, т.е. данная система многочленов образует базис в Р₃.

2.18. Доказать, что система многочленов образует базис в пространстве Р₂ многочленов степени не выше 2. Найти матрицу перехода от базиса S к каноническому базису и координаты многочлена в базисе S.

Решение:

Данная система включает 3 многочлена, что равно размерности пространства Р₂, поэтому для того, чтобы доказать, что данная система образует базис в пространстве Р₂ многочленов степени не выше 2, достаточно доказать ее линейную независимость. В каноническом базисе многочлены данной системы могут быть записаны как . Определитель, составленный из координат этих векторов, равен

Следовательно, данная система векторов линейно независима, т.е. данная система многочленов образует базис в Р₂.

Матрица перехода от канонического базиса к базису S имеет вид:

,

следовательно, матрица перехода от базиса S к каноническому базису имеет вид:

Многочлен в каноническом базисе имеет координаты (-3;4,-7) поэтому в базисе S он имеет координаты

,

т.е. , где

2.19. Установить, являются ли заданные множества подпространствами пространства Р_n. В случае положительного ответа найти базис и размерность подпространства.

1) Множество многочленов степени не выше n, у которых коэффициенты при нечетных степенях равны нулю.

2) Множество многочленов f(x) степени не выше n, таких, что f(x₀)=0 для некоторого .

3) Множество многочленов f(x) степени не выше n, таких, что f(x₀)=1 для некоторого .

Решение:

1) Множество многочленов степени не выше n, у которых коэффициенты при нечетных степенях равны нулю: при умножении таких многочленов на любое число и сложении получается многочлен, у которого коэффициенты при нечетных степенях равны нулю. Следовательно, множество таких многочленнов образует подпространство пространства Р_n. В качестве базиса такого подпространства можно выбрать систему многочленов (x, x³, …, x^k), где k – наибольшее нечетное число, не превосходящее n.

2) Множество многочленов f(x) степени не выше n, таких, что f(x₀)=0 для некоторого : при умножении таких многочленов на любое число и сложении получается многочлен, для которого также выполняется условие f(x₀)=0. Следовательно, множество таких многочленнов образует подпространство пространства Р_n. В качестве базиса такого подпространства можно выбрать систему многочленов (x-x₀, x(x-x₀), …, x^n-1(x-x₀), т.к. если f(x₀)=0, то многочлен f(x) делится без остатка на x-x₀ и частным является многочлен степени n-1.

3) Множество многочленов f(x) степени не выше n, таких, что f(x₀)=1 для некоторого , не является подпространством пространства Р_n, поскольку, например, при умножении такого многочлена на 2 получается многочлен, для которого f(x₀)=2 и который поэтому не принадлежит данному множеству.

2.21. Доказать, что матрицы вида образуют линейное подпространство в пространстве матриц М₂₂. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Решение:

Линейность данного множества матриц следует из линейности операций умножения матриц на число и сложения матриц, например:

При этом каждая матрица данного подпространства может быть представлена в виде:

Отсюда следует, что размерность подпространства L равна 3 и вкачестве его базиса можно взять матрицы .

Для дополнения этого базиса до базиса всего пространства М₂₂ можно выбрать матрицу