Линейные Пространства (Задачи для подготовки к экзамену - Решение)

Задачи для подготовки к экзамену и контрольной работе по теме №2

«Линейные пространства»

2.1. Доказать, что множество всех геометрических векторов, удовлетворяющих условию , где , является линейным подпространством в пространстве V₃. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Решение:

Проверяем линейность данного множества L векторов:

Все условия выполнены – L является линейным пространством.

Если , то

Таким образом, данное множество векторов является линейной оболочкой двух векторов , которые и являются в ней базисом. Размерность такой линейной оболочки равна 2, для дополнения ее базиса до базиса всего пространства достаточно добавить вектор .

2.2. Доказать, что множество всех геометрических векторов, удовлетворяющих условию , где , является линейным подпространством в пространстве V₃. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Решение:

Проверяем линейность данного множества L векторов:

Все условия выполнены – L является линейным пространством.

Если , то

Таким образом, данное множество векторов является линейной оболочкой одного вектора , который и является в ней базисом. Размерность такой линейной оболочки равна 1, для дополнения ее базиса до базиса всего пространства достаточно добавить любые два вектора канонического базиса, например, и .

2.3. Для каждого из следующих множеств геометрических векторов определить, будет ли это множество линейным подпространством пространства V₃.

1) радиус-векторы точек данной плоскости;

2) векторы, образующие с данным ненулевым вектором угол α;

3) множество векторов, удовлетворяющих условию .

Решение:

1) радиус-векторы точек данной плоскости образуют линейное подпространство пространства V₃, только если данная плоскость проходит через начало координат;

2) векторы, образующие с данным ненулевым вектором угол α, образуют линейное подпространство пространства V₃, поскольку умножение такого вектора на число или сложение таких векторов дает в результате вектор, также образующий с данных вектором угол α;

3) множество векторов, удовлетворяющих условию , не образует линейное подпространство пространства V₃, поскольку при умножении такого вектора, например, на 2 образуется вектор, не обладающий указанным свойством.

2.4. В пространстве V₃ задана система векторов , , . Найти размерность и базис линейной оболочки этой системы векторов. Записать общий вид векторов, принадлежащих линейной оболочке. Дополнить базис линейной оболочки до базиса пространства V₃.

Решение:

Находим ранг данной системы векторов:

Ранг системы векторов равен 2, поэтому размерность линейной оболочки также равна 2. Из последней матрицы также можно определить, что в качестве базиса линейной оболочки можно выбрать векторы , .

Общий вид векторов линейной оболочки:

Из последней матрицы также следует, что дополнением этого базиса до базиса всего пространства является вектор .

2.5. В пространстве V₃ заданы векторы , , . Показать, что система S = ( ) образует базис в пространстве V₃. Найти матрицу перехода от этого базиса к каноническому базису и координаты вектора в базисе S.

Решение:

Данная система включает 3 вектора, что равно размерности пространства Р₂, поэтому для того, чтобы доказать, что данная система образует базис в пространстве V₃, достаточно доказать ее линейную независимость. Определитель, составленный из координат этих векторов, равен

Следовательно, данная система векторов линейно независима и поэтому образует базис в V₃.

Матрица перехода от канонического базиса к базису S имеет вид:

,

следовательно, матрица перехода от базиса S к каноническому базису имеет вид:

Данный вектор в каноническом базисе имеет координаты (4;-3,2) поэтому в базисе S он имеет координаты

,

т.е. .

2.6. Доказать, что векторы вида (b,-a,a+3b) образуют линейнгое подпространство в пространстве R³. Найти его базис, размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Решение:

Поскольку

то векторы данного вида образуют линейную оболочку для системы векторов и поэтому образуют линейное подпространство пространства R³.

Данные вектора, очевидно, линейно независимы и поэтому образуют базис своей линейной оболочки. Количество векторов базиса подпространства равно 2, поэтому размерность подпространства L также равна 2, и сами вектора образуют в ней базис: . Дополнением этого базиса до ьазиса всего пространства можно выбрать любой вектор канонического базиса, например, вектор .

2.7. Доказать, что векторы вида (a+b,2с-a,3b,c) образуют линейнгое подпространство в пространстве R⁴. Найти его базис, размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Решение:

Поскольку

то векторы данного вида образуют линейную оболочку для системы векторов и поэтому образуют линейное подпространство пространства R⁴. Находим ранг данной системы векторов:

Данные векторы линейно независимы и поэтому образуют базис своей линейной оболочки. Количество векторов базиса подпространства равно 3, поэтому размерность подпространства L также равна 2, и сами вектора образуют в ней базис: . Из последней матрицы также находим дополнение этого базиса до базиса всего пространства: вектор .

2.8. Доказать, что векторы вида (a-b,-3b,0,a+b) образуют линейнгое подпространство в пространстве R⁴. Найти его базис, размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Решение:

Поскольку

то векторы данного вида образуют линейную оболочку для системы векторов и поэтому образуют линейное подпространство пространства R⁴. Данные вектора, очевидно, линейно независимы и поэтому образуют базис своей линейной оболочки.

Количество векторов базиса подпространства равно 2, поэтому размерность подпространства L также равна 2, и сами вектора образуют в ней базис: . Очевидным дополнением этого базиса до базиса всего пространства является линейно независимые с ними векторы .

2.9. Образуют ли векторы , , , базис в пространстве арифметических векторов R⁴?

Решение:

Количество векторов 4 равно размерности пространства R⁴. Проверяем линейную независимость данной системы векторов, для чего вычисляем определитель, составленный из их координат:

Определитель не равен 0 = векторы линейно незваисимыб их количество равно размерпности пространства. Следовательно, данные векторы образуют базис пространства R⁴.

2.10. Установить, являются ли заданные множества подпространствами пространства R_n. В случае положительного ответа найти базис и размерность подпространства.

1) Множество всех векторов, удовлетворяющих условию .

2) Множество всех векторов, удовлетворяющих условию .

3) Множество всех векторов , у которых компоненты х_i – целые числа.

Решение:

1) Множество всех векторов, удовлетворяющих условию : умножение таких векторов на любое число и сложение двух таких векторов дают вектор, также обладающий указанным свойством. Следовательно, данные вектора образуют подпространство пространства R_n. В качестве базиса можно выбрать векторы, образующие базисное решение уравнения :

Размерность подпространства поэтому равна n-1.

2) Множество всех векторов, удовлетворяющих условию , не образует подпространство, т.к. после умножения такого вектора, например, на 2 получается вектор, для которого данное равенство не выполняется, т.е. не принадлежащий данному множеству.

3) Множество всех векторов , у которых компоненты х_i – целые числа: не образует подпространство, т.к. после умножения такого вектора, например, на π получается вектор, у которого нет ни одной целочисленной координаты (иначе число π оказалось бы рациональным), т.е. не принадлежащий данному множеству.

2.11. В пространстве R⁴ задана система векторов , , , , . Найти размерность и базис линейной оболочки этой системы векторов. Записать общий вид векторов, принадлежащих линейной оболочке. Дополнить базис линейной оболочки до базиса всего пространства R⁴.

Решение:

Находим ранг данной системы векторов: