Занятие 8(Фдз 9) (Занятия и Фдз по АиГ)

6

Занятие 8 (Фдз 9).

Линейные, билинейные и квадратичные функции в линейном пространстве.

8.1. Линейная функция в линейном пространстве и ее представление в заданном базисе.

8.2. Билинейная функция в линейном пространстве и соответствующая ей билинейная форма в заданном базисе. Векторно-матричная запись билинейной формы. Матрица билинейной формы, закон ее изменения при переходе к новому базису и инвариантность ранга этой матрицы.

8.3. Квадратичная функция в линейном пространстве. Симметричные билинейные функции и соответствующие им квадратичные функции. Квадратичные функции и соответствующие им квадратичные формы. Матрица квадратичной формы.

8.1. Пусть - -мерное линейное пространство. Линейной функцией на этом пространстве называется отображение векторов на вещественную ось , обладающее свойством линейности:

или

и . (1)

Если - базис пространства и - координаты вектора в базисе , то

, где .

Пример 1. На линейном векторном пространстве заданы две числовые функции . Проверить, есть ли среди них линейные функции.

Решение.

.

.

Согласно (2) функция не является линейной функцией.

,

.

.

Выполнены оба свойства (2). Следовательно, - линейная функция.

Пример 2. . стандартный базис пространства . На этом пространстве задана линейная функция такая, что

. Найти , если .

Решение.

.

.

8.2. Билинейной функцией на линейном пространстве называется числовая функция линейная по одновременно, т.е.

; (2)

. (3)

В базисе пространства билинейная функция принимает вид

, (4)

где , и - координаты векторов в базисе .

Выражение называется билинейной формой координат и .

Если , то билинейная функция называется симметричной.

Билинейную форму можно записать в векторно-матричной форме

, (5)

где .

Матрица называется матрицей билинейной формы или матрицей билинейной функции в базисе .

У симметричной билинейной формы матрица симметрична . Соответствующая форма (5) называется симметричной билинейной формой.

При переходе к новому базису пространства , в котором координаты векторов соответственно равны и билинейная функция представляется билинейной формой

,

в которой .

Матрицы и связаны между собой равенством

. (6)

Здесь - матрица перехода от базиса к базису .

Пример 3. На линейном векторном пространстве заданы две числовые функции . Проверить, есть ли среди них билинейные функции.

Решение.

Пусть

,

.

1) Исследуем функцию . Сначала проверим линейность функции по первому аргументу.

.

линейна по первому аргументу.

Теперь проверим линейность функции по второму аргументу.

.

.

не линейна по второму аргументу.

Окончательный вывод: функция не является билинейной функцией.

2) Исследуем функцию . Сначала проверим линейность функции по первому аргументу.

линейность по первому аргументу.

Теперь проверим линейность функции по второму аргументу.

линейность по второму аргументу.

Окончательный вывод: - билинейная функция.

В дополнение приведем векторно-матричное выражение для и ее матрицу.

.

Здесь .

Следовательно,

- матрица билинейной функции в базисе .

и т.д.

Пример 4. Билинейная функция на двумерном линейном пространстве в базисе

представлена следующей билинейной формой,

, где - координаты векторов в базисе .

Найти выражение функции и матрицу этой функции в базисе , если .

Решение.

, где .

- матрица функции в базисе .

Найдем матрицу перехода от базиса к базису

-1-й столбец матрицы . - 2-й столбец .

.

По формуле (6) вычисляем матрицу билинейной функции в базисе .

.

В базисе билинейная функция имеет следующее выражение

.

Здесь , - координаты векторов в базисе .

8.3. Квадратичной функцией на - мерном линейном пространстве называется билинейная функция при совпадающих аргументах, т.е. при .

Следовательно, . В базисе пространства

.

В найденном выражении функции , слагаемые и представляют подобные члены: . Поэтому,

, где при и .

Выражение квадратичной функции в виде называется квадратичной формой.

Пример 5. Найти квадратичные формы соответствующие билинейным формам:

; .

Решение.

1)

.

2)

.

Следует отметить, что две различные билинейные формы могут давать одну и ту же квадратичную форму. Например, билинейные формы

,

приводят к одинаковой квадратичной форме

.

Таким образом, между билинейными и квадратичными формами не существует взаимно однозначного соответствия. Однако, если рассматривать только симметричные билинейные формы , то между этими формами и соответствующими им квадратичными формами автоматически устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Каждой квадратичной форме можно поставить в соответствие симметричную матрицу , в которой . Такое соответствие взаимно однозначно (биективно) отображает множество всех квадратичных форм на множество симметричных матриц. Матрицу называют матрицей квадратичной формы.

Пример 6. Найти матрицы квадратичных форм

, .

Решение.

1)

.

- матрица квадратичной формы .

2)

.

- матрица квадратичной формы .

С помощью матрицы квадратичной формы эту квадратичную форму можно переписать в следующей векторно-матричной форме

.

Пример 7. Записать квадратичные формы

, в векторно-матричной форме.

Решение.

Воспользуемся матрицами квадратичных форм и , найденными в примере 6.

.

При переходе к новому базису , с которым связаны координаты , квадратичная форма меняется по закону

,

где , - матрица квадратичной формы в новом базисе, ее получают из матрицы с помощью формулы , в которой - матрица перехода от старого базиса к новому базису ( - невырожденная матрица, ее определитель отличен от нуля).

Напомним, что старые и новые координаты связаны равенством или

.

Эти формулы называются невырожденным линейным преобразованием координат.

_______________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Билинейные формы , в базисе имеет вид

1.1. .

1.2. .

Найти матрицу билинейной формы, ее матричное представление, а также матрицу и выражение в новом базисе .

2. Найти квадратичные формы, соответствующие билинейным формам

из примеров 1.1, 1.2. Записать эти квадратичные формы в матричном виде. По квадратичным формам записать соответствующие им симметричные билинейные формы.