Занятие 6(Фдз 7) (Занятия и Фдз по АиГ)

5

Занятие 6 (Фдз 7).

Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора.

6.1. Характеристическая матрица, характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Нахождение собственных значений из характеристического уравнения и собственных векторов из однородной системы уравнений с характеристической матрицей.

6.1. Собственные значение и собственные векторы линейного оператора обычно находят по матрице оператора.

Пусть ; - базис линейного пространства ; - координаты вектора в базисе ;

- матрица оператора в базисе ; - единичная матрица.

называется характеристической матрицей.

Определитель после его вычисления дает

многочлен степени относительно переменной . Полученный многочлен называется характеристическим многочленом.

Уравнение

(1)

называется характеристическим уравнением. Это уравнение позволяет найти все собственные числа (значения) оператора (и действительные и комплексные), они называются также собственными числами матрицы .

Таким образом, собственные числа – корни характеристического уравнения. Следует особо отметить, что собственные числа оператора не зависят от базиса, они одни и те же в любом базисе пространства .

Ниже будем искать только действительные собственные числа оператора и отвечающие им собственные векторы.

После того, как характеристическое уравнение решено, и действительные собственные числа оператора найдены, собственные векторы оператора (они называются также собственными векторами матрицы ) находятся из систем линейных уравнений, матричное представление которых имеет вид:

. (2)

Множество всех ненулевых решений системы (2) – собственные векторы линейного оператора (матрицы ) с собственным значением .

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение.

Запишем характеристическое уравнение

.

- корни кратности 1 характеристического многочлена. Это - собственные числа матрицы .

Найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу .

- все собственные векторы матрицы с собственным числом . Все эти векторы находятся по вектору , умножением на произвольное число . Поэтому, в качестве собственного вектора матрицы с собственным значением в ответе обычно указывается вектор .

Найдем теперь собственные векторы, отвечающие собственному числу .

- все собственные векторы матрицы с собственным числом . Здесь вектор служит "определяющим" собственным вектором матрицы , отвечающим собственному числу данной матрицы.

Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение.

Запишем характеристическое уравнение

.

Это уравнение имеет два комплексных корня , где . Таким образом, собственные числа матрицы - комплексные числа . Обычно ограничиваются нахождением действительных собственных чисел матрицы и соответствующих им собственных векторов. Ответ в этом случае таков: заданная матрица не имеет ни одного действительного собственного числа, и значит, не имеет собственных векторов с действительными координатами.

Однако у матрицы имеются собственные векторы с комплексными координатами. Найдем их.

Сначала найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу .

.

Если 2-е уравнение полученной системы умножить на , то получим 1-е уравнение этой системы. Поэтому, система эквивалентна системе из одного уравнения.

Положим в ней , получим . Следовательно, - собственный вектор матрицы , отвечающий собственному числу . Все другие собственные векторы с данным собственным значением получаются из вектора , умножением на произвольное комплексное число .

Найдем теперь собственные векторы, отвечающие собственному числу .

.

Положим , получим . Следовательно, - собственный вектор матрицы , отвечающий собственному числу . Все другие собственные векторы с данным собственным значением получаются из вектора , умножением на произвольное комплексное число .

Пример 3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение.

Собственные числа матрицы найдем из характеристического уравнения

.

- корень кратности 2 и - корень кратности 1 характеристического уравнения.

Найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу .

- все собственные векторы.

"Определяющий" собственный вектор для числа – вектор .

Найдем теперь собственные векторы, отвечающие собственному числу .

- все собственные векторы.

"Определяющий" собственный вектор для числа – вектор .

Пример 4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , где , если оператор действует по правилу , где .

Решение.

Поставленная задача уже была решена в примере 7 занятия 5 исходя из определений собственного вектора и собственного значения линейного оператора. Здесь приведем другое решение, основывающееся на матрице оператора и характеристическом уравнении.

1) Найдем матрицу оператора в стандартном базисе пространства :

.

.

,

,

,

.

Полученные столбцы приводят к следующей матрице .

Характеристическое уравнение:

.

Его корни - собственные значения оператора .

2) Найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу .

- собственные векторы матрицы с собственным числом , они представляют линейную комбинацию трех "определяющих" собственных векторов: .

Вектор эквивалентен матрице .

Вектор эквивалентен матрице .

Вектор эквивалентен матрице .

Таким образом, собственному числу оператора отвечают собственные матрицы: .

3) Теперь найдем собственные векторы матрицы для числа . - все собственные векторы матрицы с собственным числом . Они представляют линейную комбинацию на векторе: , который приводит к матрице

.

Итог: собственному числу оператора отвечают собственная матрица .

Сравнение полученных результатов с результатами примера 7 занятия 5 показывает их полную идентичность.

Пример 5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , где , и оператор действует по правилу .

Решение.

.

. (3)

Найдем теперь матрицу оператора в стандартном базисе пространства .

Полагая из (3) находим

- первый столбец матрицы .

- второй столбец матрицы .

- третий столбец матрицы .

- собственные числа матрицы и одновременно собственные значения линейного оператора .

.

Собственному вектору отвечает многочлен .

Собственному вектору отвечает многочлен .

Следовательно, многочлены вида являются собственными многочленами (отвечающими собственному значению ) заданного линейного оператора .

_____________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Найти собственные значения и собственные векторы матриц

1.1. , 1.2. , 1.3. .

2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , где , и оператор действует по правилу . Провести решение с помощью матрицы оператора в стандартном базисе пространства .