Занятие 3(Фдз 4) (Занятия и Фдз по АиГ)

7

Занятие 3 (Фдз 4).

Отображения множеств. Линейные операторы и их матрицы.

3.1. Отображения множеств. Образ и прообраз. Однозначное и взаимно однозначное отображения, примеры. Обратное отображение. Композиция отображений.

3.2. Линейный оператор, его свойства, примеры линейных операторов.

3.3. Матричная запись действия линейного оператора в заданном базисе. Матрица линейного оператора и ее преобразование при переходе к новому базису.

3.1. Пусть даны два множества и , и задан некоторый закон , по которому каждому элементу из множества ставится в соответствие один или несколько элементов множества . Тогда говорят, что задано отображение (преобразование) множества на множество .

Если отображение ставит в соответствие каждому элементу множества ровно один элемент из множества , то отображение называется однозначным отображением. Пусть элементу отображение ставит в соответствие элемент , тогда принято писать , и элемент называют образом элемента , а элемент - прообразом элемента заданного отображения . Множество всех образов отображения обозначается и называется образом множества .

Если является однозначным отображением множества на множество , и каждый образ имеет только один прообраз , то такое отображение называется взаимно однозначным.

Если даны два однозначных отображения и , то определено однозначное отображение . Отображение называется композицией отображений и .

Если - взаимно однозначное отображение , то существует обратное отображение , действующее по правилу:

.

Композиция отображений является тождественным отображением: .

Пример 1. Пусть - множество, состоящее из трех элементов и - множество, состоящее из пяти элементов .

1) Пусть задано отображение , такое, что .

Закон :

переводит элемент в множество , где состоит из двух элементов ;

переводит элемент в множество ;

переводит элемент в элемент .

Следовательно,

образом элемента является множество ,

образом элемента является множество ,

образом элемента является элемент ,

образом всего множества является множество .

Прообраз элемента состоит из одного элемента ,

прообраз элемента также состоит из одного элемента ,

прообразом элемента служит пустое множество ,

прообраз элемента представляет множество ,

прообраз элемента представляет множество .

Отображение не является однозначным отображением (т.к. образом элемента является не один, а два элемента множества ).

2) Пусть задано отображение , действующее так: .

Здесь :

переводит элемент в элемент (образом элемента является один элемент ); переводит элемент в элемент (образом элемента является один элемент ); переводит элемент в элемент (образом элемента является один элемент );

.

Прообразы элементов - пустые множества.

Прообраз элемента представляет множество из двух элементов .

Прообраз элемента состоит из одного элемента .

Преобразование является однозначным отображением, но не является взаимно однозначным (по двум причинам: прообразы элементов пусты; и прообраз элемента состоит из двух элементов ).

Пример 2. Отображение , где

- множество всех векторов в трехмерном пространстве, - множество всех векторов на плоскости,

. (1)

Найти образ вектора и прообраз вектора .

Решение. Чтобы найти образ подставим координаты вектора в формулы (1):

.

Чтобы найти прообраз вектора , подставим координаты этого вектора в уравнения (1) и решим полученную систему относительно координат .

, .

(Вторая система из первой получена так: к 1-му уравнению прибавили 2-е уравнение и затем переставили местами 2-е и полученное 1-е уравнения).

Таким образом, прообразом вектора служит множество векторов , зависящее от одного параметра .

Приведем примеры взаимно однозначных отображений и обратных им отображений .

1) Пусть , , . - взаимно однозначное отображение. Обратное отображение действует так:

.

2) Пусть , . Отображение , определенное по правилу , является взаимно однозначным отображением. Обратным отображением будет закон: .

3) Пусть - множество всех квадратных матриц второго порядка.

Отображение , заданное по правилу , где , однозначно определяет по заданной матрице ее образ (матрицу ).

Т.к. определитель матрицы отличен от нуля, то по заданному образу (матрице ) находится ее единственный прообраз – матрица . Следовательно, - взаимно однозначно отображает множество на множество . Обратное отображение действует так: .

Пример 3. , , . Даны два однозначных отображения

и .

Найти отображение - композицию отображений и .

Решение.

Согласно определению композиции отображений имеем:

; ; ;

. Следовательно, - множество из трех элементов .

3.2. Отображение называется оператором, если (т.е. ).

Если и - линейные пространства, и - отображение, обладающее свойствами:

; (2)

, (3)

то такое отображение называют линейным отображением.

Оператор , определенный на линейном пространстве и обладающий свойствами (2), (3), называется линейным оператором.

Свойства (2), (3) можно заменить одним:

и . (4)

Свойства (2), (3) и обобщающее их свойство (4) называются свойствами линейности.

Из свойства (3) выводится: . Следовательно, любой линейный оператор переводит нулевой элемент линейного пространства в нулевой элемент.

Пример 4. Доказать линейность отображения из примера 2.

Решение.

Заменим формулы (1), определяющие заданное отображение матричным равенством

, где . (5)

Пусть - два произвольных вектора из пространства и - два произвольных числа. На основании равенства (5), выводим

.

Таким образом, установлено выполнение свойства линейности (4). Это доказывает линейность отображения .

Пример 5. Доказать, что отображение , , ,

, (6)

не является линейным отображением.

Решение.

Покажем, что для заданного отображения свойство (3) не выполн.яется. Пусть .
Т.к. и , то согласно закону (6)

. (7)

С другой стороны, , где .

. (8)

Из (7), (8) видно, в общем случае и . Следовательно, . Значит, - нелинейное отображение.

Пример 6. Доказать, что отображение , действующее в пространстве многочленов , является линейным оператором

Решение.

1. Сначала покажем, что - оператор. - оператор.

2. Теперь докажем линейность с помощью обобщенного свойства линейности (4).

Пусть - два произвольных многочлена из пространства и - два произвольных числа.

.

Свойство (4) выполнено и значит, заданный оператор - линейный оператор.

Пример 7. Выяснить, является или нет отображение , (где -заданные квадратные матрицы второго порядка), действующее в пространстве матриц , линейным оператором?

Решение.

1. - оператор.

2. Пусть - две произвольные матрицы из пространства .

,

.

.

Следовательно, . Не выполнение свойства (2) означает, что заданный оператор не является линейным.

Пример 8. Доказать, что отображение множества всех матриц , определенное формулой , где , является линейным оператором.

Решение.

1) Пусть - произвольные матрицы из множества и

- произвольные числа.

.

- линейное подпространство в пространстве .

2) Покажем теперь, что .

=

- оператор.

3) Осталось доказать линейность оператора .

и

- линейный оператор.

3.3. Пусть: - линейный оператор, действующий в линейном пространстве размерности ; - базис пространства ; - координаты вектора в этом базисе ; - координаты вектора , являющегося образом вектора . Тогда действие оператора в базисе определяется матричным равенством

, где . (9)

Матрица называется матрицей линейного оператора в базисе . Эту матрицу находят так:

- первый столбец матрицы ;

- второй столбец матрицы ; и т.д.

Если наряду с базисом задан другой (новый) базис и - координаты вектора в базисе ; - координаты вектора в базисе , то действие оператора в новом базисе определяется матричным равенством

, (10)

где .

Матрица - матрицей линейного оператора в базисе . Она связана с матрицей формулой

, (11)

где - матрица перехода от базиса к базису .

Пример 9. Найти матрицу линейного оператора , действующего в пространстве многочленов по правилу , в стандартном базисе . С помощью найденной матрицы записать действие оператора в форме матричного равенства (9).

Решение.

По разложениям образов элементов базиса по этому базису найдем соответствующие столбцы искомой матрицы оператора .

- 1-й столбец матрицы .

- 2-й столбец матрицы .

- 3-й столбец матрицы .

Следовательно, матрица оператора в базисе имеет вид .

В нашем случае, .