Занятие 14(Фдз 15) (Занятия и Фдз по АиГ)

5

Занятие 14 (Фдз 15).

Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием координат.

14.1. Ортогональные преобразования координат. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием координат.

14.1. Ортогональным преобразованием координат называется преобразование координат векторов

или (1)

при переходе от одного ортонормированного базиса евклидова пространства к другому ортонормированному базису этого пространства. Координаты связаны с базисом , а координаты - с базисом .

Матрица является ортогональной матрицей, т.е. .

Любую квадратичную форму ортогональным преобразованием (1) координат можно привести к каноническому виду. Делается это последовательным выполнением следующих шагов.

1. Записывается матрица заданной квадратичной формы.

2. Находятся собственные значения и собственные векторы симметричной матрицы , которую можно считать матрицей симметричного оператора в ортонормированном базисе - мерного евклидова пространства .

3. По собственным векторам находится ортонормированный собственный базис оператора и ортогональная матрица перехода от базиса к базису .

4. В заданной квадратичной форме выполняется преобразование (1), в результате которого квадратичная форма принимает следующий канонический вид

. (2)

Пример 1. Привести квадратичную форму ортогональным преобразованием к каноническому виду.

Решение. Выполним все указанные выше шаги 1 – 4.

1. - матрица квадратичной формы. Эту матрицу можно считать матрицей симметричного оператора в ортонормированном базисе двумерного евклидова пространства .

2. - собственные значения матрицы .

- собственный вектор с собственным значением .

- собственный вектор с собственным значением .

3. Векторы - собственные векторы с различными собственными значениями. Поэтому эти векторы ортогональны. Они образуют ортогональный базис пространства .

Нормируем эти векторы.

.

.

- собственный ортонормированный базис.

Записывая координаты векторов в виде столбцов, получим следующую матрицу перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базису .

.

Проверим на ортогональность матрицу .

- ортогональная матрица.

4. Проведем в квадратичной форме ортогональное преобразование координат

. (3)

- канонический вид квадратичной формы, полученный ортогональным преобразованием координат (3).

Заметим, что ответ полностью согласуется с формулой (2).

Пример 2. Привести квадратичную форму

ортогональным преобразованием к каноническому виду.

Решение.

1. - матрица заданной квадратичной формы.

2. .

- собственный вектор с собственным значением .

- собственный вектор с собственным значением .

- собственный вектор с собственным значением .

3. - собственные векторы с различными собственными значениями - ортогональный собственный базис.

Нормируем векторы .

.

.

- ортонормированный собственный базис.

По координатам векторов находим матрицу ортогонального преобразования координат и само это преобразование.

.

4. Используя найденное преобразование координат приводим квадратичную форму к каноническому виду.

.

Пример 3. Привести квадратичную форму

ортогональным преобразованием к каноническому виду.

Решение.

1. - матрица заданной квадратичной формы. Эту матрицу можно считать матрицей симметричного оператора в ортонормированном базисе трехмерного евклидова пространства .

2. .

.

.

- два линейно независимых собственных вектора с собственным значением .

.

3. - собственный базис. Он не является ортогональным, т.к. не ортогонален вектору . Проведем процесс ортогонализации к системе векторов .

.

, .

Векторы образуют собственный ортогональный базис симметричного оператора . Пронормировав векторы , получим собственный ортонормированный базис .

.

.

.

4. По координатам векторов находим матрицу ортогонального преобразования и само ортогональное преобразование координат.

.

.

Домашнее задание.

1. Ортогональным преобразованием координат привести квадратичную форму

, к каноническому виду. Найти индексы инерции этой формы.