Занятие 12(Фдз 13) (Занятия и Фдз по АиГ)

6

Занятие 12 (Фдз 13).

Ортогональный и ортонормированный базисы. Метод ортогонализации базиса.

Ортогональные матрицы.

12.1. Ортогональные векторы. Ортогональный базис. Ортонормированный базис.

12.2. Метод ортогонализации базиса.

12.3. Ортогональные матрицы и их свойства.

12.1. Пусть - - мерное евклидово пространство, - скалярное произведение векторов. Векторы называются ортогональными, если =0. Система из ортогональных векторов, т.е. , всегда линейно независима.

Базис называется ортогональным, если он состоит из ортогональных векторов.

Базис называется ортонормированным, если этот базис является ортогональным, и все его векторы имеют длину, равную 1.

Пример 1. В базисе двумерного евклидова векторного пространства матрица Грама имеет вид . Даны векторы в базисе . Требуется найти, при каком значении параметра векторы будут ортогональными.

Решение.

Скалярное произведение векторов в базисе задается формулой

, где - координаты векторов в базисе . Следовательно,

.

Согласно определению будут ортогональными, если . .

12.2. Пусть - - мерное евклидово пространство, - скалярное произведение векторов . Нахождение ортогонального и ортонормированного базисов этого пространства является одной из главных задач. Решить эту задачу можно так.

Возьмем произвольный базис пространства . На его основе можно построить ортогональный базис пространства , если последовательно найти векторы по следующему алгоритму:

;

, где ;

, где ; (1)

………………………………………………………..

, где .

Приведенный алгоритм называется методом ортогонализации базиса.

Теперь, используя ортогональный базис легко находится ортонормированный базис , в котором

, . (2)

Переход от к по формулам (2) называется нормировкой векторов .

Пример 2. Пусть - трехмерное евклидово пространство со стандартным скалярным произведением . В этом пространстве задан базис . Требуется ортогонализовать и ортонормировать этот базис.

Решение.

Проведем ортогонализацию базиса . Сделаем это с помощью формул (1).

.

, где .

.

.

, где .

.

Итак, получили: , , .

Проведем проверку ортогональности полученных векторов.

,

,

.

Таким образом, проверкой окончательно установлено, что - ортогональный базис.

Чтобы найти ортонормированный базис, надо пронормировать векторы .

.

.

.

Итог: , , -

ортонормированный базис.

В заключение отметим, что базис, в котором задано стандартное скалярное произведение, также является ортонормированным, он состоит из векторов .

Пример 3. Рассмотрим двумерное евклидово пространство

с базисом и скалярным произведением , где

- симметричная билинейная функция. Ее значения на базисных матрицах таковы: .

(См. пример 9 занятия 10 и пример 3 занятия 11).

Требуется ортогонализовать и ортонормировать этот базис.

Решение. Сначала методом ортогонализации из получим ортогональный базис .

.

, где

.

, - ортогональный базис.

Чтобы получить ортонормированный базис , пронормируем матрицы .

.

.

.

Ответ. , - ортонормированный базис.

Пример 4. Рассмотрим трехмерное евклидово пространство многочленов степени не выше второй степени со стандартным базисом и скалярным произведением , где - симметричная билинейная функция со следующими значениями на базисных многочленах:

.

(См. пример 8 занятия 10 и пример 2 занятия 11).

Исходя из базиса найти ортонормированный базис.

Решение.

Сначала методом ортогонализации из получим ортогональный базис .

.

, где .

, где .

.

.

.

Итог: , , - ортогональный базис пространства .

Теперь из базиса получим ортонормированный базис .

.

(см. вычисление знаменателя у коэффициента ).

.

.

.

Ответ. , , - ортонормированный базис.

12.3. Ортогональная матрица – матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису евклидова пространства .

Пусть и - ортонормированные базисы -мерного евклидова пространства .

, где .

- ортогональная матрица.

Свойство (необходимое и достаточное условие) ортогональной матрицы: или , где - единичная матрица.

Из этого свойства выводится, что равен 1 или -1. Поэтому, ортогональные матрицы составляют два класса. Для одного класса ортогональных матриц , для другого .

Пример 5. Даны матрицы .

Доказать, что - ортогональные матрицы.

Решение.

1. . .

, ,

, .

- ортогональная матрица. Легко проверяется, что

2. . .

, , ,

, , ,

, , .

- ортогональная матрица.

Пример 6. Найти матрицу перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базису

, ,

трехмерного евклидова пространства со стандартным скалярным произведением и проверить, что эта матрица является ортогональной.

Решение.

.

.

.

- матрица перехода от базиса к базису , , .

.

- ортогональная матрица.

_________________________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. В трехмерном евклидовом пространстве со стандартным скалярным произведением задан базис . Провести ортогонализацию этого базиса. Затем, по полученному ортогональному базису найти ортонормированный базис.

2. Дано трехмерное евклидово пространство , у которого матрица Грама в базисе имеет вид . -новый базис пространства ,

. Провести ортогонализацию базиса . Затем, по полученному ортогональному базису найти ортонормированный базис.