Занятие 11Фдз 12) (Занятия и Фдз по АиГ)
Описание файла
Файл "Занятие 11Фдз 12)" внутри архива находится в папке "Занятия и Фдз по АиГ". Документ из архива "Занятия и Фдз по АиГ", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "алгебра и геометрия" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Занятие 11Фдз 12)"
Текст из документа "Занятие 11Фдз 12)"
6
Занятие 11 (Фдз 12).
Определение евклидова пространства. Примеры евклидовых пространств.
Матрица Грама.
11.1. Определение евклидова пространства. Примеры евклидовых пространств.
11.2. Координатная и векторно-матричная запись скалярного произведения в заданном базисе. Матрица Грама и ее свойства. Преобразование матрицы Грама при переходе к новому базису.
11.1. Определение. Евклидовым пространством называется линейное пространство , на котором определена билинейная функция , удовлетворяющая требованиям:
Требование 1 означает, что - симметричная билинейная функция.
Требование 2 означает, что соответствующая билинейной функции квадратичная функция является положительно определенной.
Билинейная функция с требованиями 1, 2 называется скалярным произведением (или евклидовой структурой в линейном пространстве ) и далее обозначается .
Из 1, 2 выводятся следующие важные неравенства:
- неравенство Коши-Буняковского.
Далее, по определению
а угол , найденный из формулы , называется углом между векторами .
После сделанного определения длины вектора неравенство треугольника и неравенства Коши-Буняковского перепишутся в виде:
или - неравенство Коши-Буняковского.
Данное определение скалярного произведения обобщает введенное в 1-м семестре определение скалярного произведения в векторных пространствах формулой .
Следует подчеркнуть, что в новом определение длина и угол выводятся из скалярного произведения, тогда как в старом определении наоборот, скалярное произведение определяется через длины векторов и угол между ними.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Пусть - линейное пространство многочленов степени не выше второй степени. - стандартный базис этого пространства. Пусть - симметричная билинейная функция. Ее значения на базисных многочленах:
Доказать, что билинейная функция является скалярным произведением в пространстве . Найти: скалярное произведение "векторов" , ;
длины этих "векторов" и угол между ними.
Решение. Сначала докажем, что является скалярным произведением.
Требование 1 выполнено по условию. Проверим выполнение требования 2.
Возьмем два произвольных многочлена и .
Таким образом, функция представлена симметричной билинейной формой на координатах многочленов и в базисе . (1)
Это - квадратичная форма, соответствующая симметричной билинейной форме (1).
В матричном виде эта квадратичная форма перепишется так.
, где - матрица квадратичной формы (2) и симметричной билинейной формы (1) одновременно.
С помощью критерия Сильвестра исследуем квадратичную форму на положительную определенность.
- положительно определенная функция требование 2 выполнено.
Тем самым доказано, что рассмотренная билинейная функция является скалярным произведением в линейном пространстве , а само пространство становится евклидовым пространством.
Вычислим теперь скалярное произведение для заданных "векторов" , и найдем их "длины" и "угол" между ними.
В базисе "векторы" , имеют соответственно координаты . По формуле (1) находим
По формуле (2) получаем
Пример 2. Рассмотрим множество . - двумерное линейное пространство с базисом . Пусть - билинейная функция. Ее значения на базисных матрицах таковы: .
Доказать, что - евклидово пространство и найти скалярное произведение матриц , их "длину" и угол между ними.
Решение. Сначала докажем, что является скалярным произведением.
Начнем с проверки требования 1.
Возьмем две произвольные матрицы из пространства .
В базисе эти матрицы имеют координаты .
- симметричная билинейная функция, представленная в базисе симметричной билинейной формой (3). Итак, требование 1 выполнено.
Теперь проверим требование 2.
- квадратичная форма, соответствующая билинейной форме (3). Из матрицы квадратичной формы находим ее угловые определители . Квадратичная форма положительно определена. Требование 1 выполнено.
Требования 1, 2 выполнены - евклидово пространство со скалярным произведением .
В базисе координаты заданных матриц равны .
11.2. Пусть - - мерное евклидово пространство, - базис пространства , тогда скалярное произведение векторов вычисляется по формуле
где , - вектор строка, - вектор столбец из координат векторов в базисе .
Первое и второе равенства в формуле (1) называется координатной записью скалярного произведения и соответственно векторно-матричной записью скалярного произведения в заданном базисе .
Матрица называется матрицей Грама. Эта матрица обладает тем свойством, что все ее угловые определители строго положительны, т.е.
Матрицы Грама и , отвечающие базисам и соответственно, связаны между собой по формуле
где - матрица перехода от базиса к базису . Эта формула служит правилом, по которому преобразуется матрица при переходе к новому базису.
Пример 3. Пусть - трехмерное евклидово пространство, и в базисе матрица Грама равна , , . Вычислить скалярное произведение , найти длины векторов и угол между ними.
Решение.
В базисе скалярное произведение вычисляется по формуле , где - координаты векторов в этом базисе. Следовательно,
Пример 4. Пусть - линейное пространство многочленов степени не выше второй степени. - стандартный базис этого пространства. В примере 8 занятия 10 доказано, что симметричная билинейная функция со следующими значениями на базисных многочленах:
является скалярным произведением. Поставим задачей найти матрицу Грама, координатную и векторно-матричную запись скалярного произведения в указанном стандартном базисе пространства .
Решение.
- скалярное произведение в . - базис .
Пусть . - вектор строка, - вектор столбец из координат многочленов в базисе .
- векторно-матричная запись скалярного произведения в базисе .
. - координатная запись скалярного произведения в базисе .
Пример 5. Рассмотрим множество . - двумерное линейное пространство с базисом . Пусть - билинейная функция. Ее значения на базисных матрицах таковы: .
(В примере 2 доказано, что является скалярным произведением в ). Найти матрицу
Грама, координатную и векторно-матричную запись скалярного произведения в указанном базисе пространства .
Решение.
Пусть - произвольные матрицы из .
- вектор строка, - вектор столбец из координат матриц в базисе .
- векторно-матричная запись скалярного произведения в базисе .
. - координатная запись скалярного произведения в базисе .
Пример 6.
У трехмерного евклидова пространства в базисе матрица Грама равна
. Найти матрицу Грама в новом базисе , если
Решение.
В базисе скалярное произведение векторов , вычисляется по формуле
Следовательно,
Приведем еще одно решение задачи, основанное на формуле (2).
- матрица перехода от базиса к базису .
______________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. В пространстве с обычным скалярным произведением в каноническом базисе задан базис . Найти матрицу Грама скалярного произведения в базисе и записать формулы для вычисления скалярного произведения и вычисления длины вектора в базисе , если