Занятие 10(Фдз 11) (Занятия и Фдз по АиГ)

6

Занятие 10 (Фдз 11).

Знакопеременные, знакопостоянные и знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

10.1. Знакопеременные, знакопостоянные квадратичные формы (определения, примеры). Их канонический и нормальный вид, индексы и ранг. Знакоопределенные (положительно и отрицательно определенные) квадратичные формы. Их канонический и нормальный вид. Индексы и ранг знакоопределенной формы.

10.2. Критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы.

10.3. Применение критерия Сильвестра при нахождении экстремумов функции нескольких переменных.

10.1. Квадратичная форма называется знакопеременной

(или неопределенной), если существуют два набора координат и таких, что

и .

Нормальный вид знакопеременной квадратичной формы такой:

.

- ее инварианты. Ранг .

Квадратичная форма называется положительной, если для любого набора координат , при этом существует нетривиальный набор такой, что .

Нормальный вид неотрицательной квадратичной формы такой: . - ее инварианты. Ранг .

Квадратичная форма называется отрицательной, если для любого набора координат , при этом существует нетривиальный набор такой, что .

Нормальный вид неположительной квадратичной формы такой: . - ее инварианты. Ранг .

Положительные и отрицательные квадратичные формы называются знакопостоянными (их также называют полуопределенными).

Квадратичная форма называется положительно определенной, если для любого нетривиального набора координат .

Нормальный вид положительно определенной квадратичной формы такой: . - ее инварианты. Ранг .

Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если для любого нетривиального набора координат .

Нормальный вид отрицательно определенной квадратичной формы такой: . - ее инварианты. Ранг .

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы называются знакоопределенными (или определенными).

Приведем примеры.

1) - знакопеременная (неопределенная) квадратичная форма, т.к. и .

2) - положительная (полуопределенная) квадратичная форма. Действительно, можно переписать в виде . Отсюда видно, что и .

3) - отрицательная (полуопределенная) квадратичная форма. Действительно, . Отсюда видно, что и .

4) - положительно определенная квадратичная форма. Действительно, и только когда .

5) - отрицательно определенная квадратичная форма. Действительно, и только когда .

В данных примерах рассмотрены достаточно простые (для исследования на знак) квадратичные формы. В общем случае, исследование знака квадратичной формы можно провести только после приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Пример 1. Исследовать на знак квадратичную форму .

Решение.

Данная квадратичная форма приводится к следующему каноническому виду (см. пример 1 из занятия 9): . Отсюда выводится, что - положительно определенная квадратичная форма.

Пример 2. Исследовать на знак квадратичную форму .

Решение.

Данная квадратичная форма приводится к следующему каноническому виду (см. пример 2 из занятия 9): - знакопеременная квадратичная форма.

Пример 3. Исследовать на знак квадратичную форму

.

Решение.

Данная квадратичная форма приводится к следующему каноническому виду (см. пример 3 из занятия 9): - знакопеременная квадратичная форма.

Пример 4. Исследовать на знак квадратичную форму

.

Решение.

Данная квадратичная форма приводится к следующему каноническому виду (см. пример 4 из занятия 9): - знакопеременная квадратичная форма.

Пример 5. Исследовать на знак квадратичную форму

.

Решение.

Методом Лагранжа приведем квадратичную форму к каноническому виду.

.

.

.

- нормальный вид квадратичной формы.

- инварианты формы - положительная (полуопределенная) форма.

10.2. При исследовании квадратичной формы на положительную или отрицательную определенность вместо метода приведения квадратичной формы к каноническому виду часто используют критерий Сильвестра.

Рассмотрим матрицу квадратичной формы и

Вычислим все ее угловые определители: .

Справедлива следующая теорема (критерий Сильвестра).

1. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые определители матрицы квадратичной формы строго положительны, т.е. .

2. Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда все угловые определители матрицы квадратичной формы отличны от нуля и имеют строгое чередование знака, начиная со знака минус, т.е. .

Пример 6. С помощью критерия Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму .

Решение.

- матрица кв. формы

. Из критерия Сильвестра следует вывод: данная квадратичная форма является положительно определенной.

Пример 7. С помощью критерия Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму .

Решение.

- матрица кв. формы

. Согласно критерию Сильвестра данная квадратичная форма не является ни положительно, ни отрицательно определенной. Следовательно, эта форма либо знакопостоянна, либо знакопеременна. Получить точный ответ можно после приведения этой квадратичной формы к каноническому виду.

Пример 8. С помощью критерия Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму .

Решение.

- матрица кв. формы

. Из критерия Сильвестра следует

вывод: данная квадратичная форма является отрицательно определенной.

10.3. Критерий Сильвестра используется также при поиске экстремумов функции нескольких переменных. Приведем алгоритм нахождения экстремумов функции .

1. Из системы уравнений находим стационарные точки (критические точки на экстремум): .

2. Вычисляем все частные производные второго порядка и составляем из них матрицу ,

.

3. Подставим координаты стационарной точки в матрицу , в результате получим числовую симметрическую числовую матрицу , которая является матрицей квадратичной формы . Эта квадратичная форма совпадает с дифференциалом второго порядка функции в точке . Применяя критерий Сильвестра к квадратичной форме , приходим к одному из следующих выводов:

1) если - положительно определенная форма (все угловые определители матрицы строго положительны), то точка - точка локального минимума функции ;

2) если - отрицательно определенная форма (все угловые определители матрицы не равны нулю и имеют строгое знакочередование, начиная со знака минус), то точка - точка локального максимума функции ;

3) если не является знакоопределенной, то критерий Сильвестра не дает ответа о поведении функции в окрестности точки . В этом случае требуется применение других, более тонких аналитических методов.

Пример 9. Найти экстремумы функции .

Решение.

ОДЗ (область допустимых значений): .

.

.

.

. Это значение не удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, функция имеет только одну стационарную точку .

Теперь вычислим элементы матрицы , составленной из вторых производных функции .

.

В точке : .

- точка минимума.

Пример 10. Найти экстремумы функции .

Решение.

ОДЗ (область допустимых значений): .

.

Учитывая ОДЗ, из уравнения находим .

Если , то . Если , то .

Следовательно, функция имеет две стационарные точки .

Теперь вычислим элементы матрицы , составленной из вторых производных функции .

,

.

1) В точке : , .

.

- точка локального минимума функции .

2) В точке : , .

.

- точка локального максимума функции .

________________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. С помощью критерия Сильвестра исследовать на положительную (отрицательную) определенность следующие квадратичные формы. Если квадратичная форма не является знакоопределенной, то методом Лагранжа привести ее к каноническому виду, по которому определить является ли она знакопеременной или знакопостоянной.

1.1. , .

1.2. , .

1.3. , .

2. Исследовать на экстремум следующую функцию (с применением критерия Сильвестра).

.