Занятие 1(Фдз 2) (Занятия и Фдз по АиГ)
Описание файла
Файл "Занятие 1(Фдз 2)" внутри архива находится в папке "Занятия и Фдз по АиГ". Документ из архива "Занятия и Фдз по АиГ", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "алгебра и геометрия" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Занятие 1(Фдз 2)"
Текст из документа "Занятие 1(Фдз 2)"
5
Занятие 1 (Фдз 2).
Линейные пространства. Замена базиса. Линейные системы. Критерий совместности системы (теорема Кронекера-Капелли).
1.1. Закон преобразования координат вектора при переходе к новому базису. Матрица перехода от старого базиса к новому базису.
1.2. Ранг матрицы. Критерий совместности линейной системы (теорема Кронекера-Капелли).
1.1. Пусть и - два базиса мерного линейного пространства .
- "старый" базис и - "новый" базис. Они связаны равенствами
которые в матричном виде записываются так: ,
где - невырожденная квадратная матрица ,
называемая матрицей перехода от "старого" базиса к "новому" базису . Столбцы матрицы - координаты векторов в базисе .
Пусть - координаты вектора в базисе и - координаты вектора в базисе , т.е. , .
Тогда координаты вектора в старом и новом базисах связаны равенствами:
Формулы (1) называются законом преобразования координат вектора при переходе к новому базису.
Пример 1. Даны два базиса и линейного пространства . Найти матрицу перехода от базиса к базису .
Решение.
Пример 2. Пусть и - два базиса трехмерного линейного пространства ,
- координаты вектора в базисе . Найти координаты вектора в базисе ,
Решение.
Сначала найдем матрицу перехода от базиса к базису .
- 1-й столбец , - 2-й столбец ,
Отличие определителя от нуля доказывает невырожденность матрицы (если бы оказалось, что , то следовало сделать такой вывод: не может быть базисом пространства и поставленную задачу решить нельзя).
Обозначим - координаты вектора в базисе . Согласно закону (6) преобразования координат находим,
Пример 3. Дано линейное пространство . Надо доказать, что и - базисы этого пространства и найти матрицу перехода от базиса к базису .
Решение.
Пространство имеет стандартный базис , поэтому . Для того, чтобы доказать, что и - базисы достаточно показать линейную независимость этих систем матриц. Предоставляем сделать это читателю.
Здесь же поступим иначе. Найдем разложения матриц и в базисе , из которых определим матрицы и , связывающие стандартный базис с заданными системами матрицами и :
Вычислим определители матриц , : . В силу того, что определители оказались не равны нулю, сразу можно сделать вывод: и - базисы пространства . Матрицу перехода от базиса к базису найдем, используя матричные равенства (2), (3).
Вычисление элементов матрицы предоставляем читателю.
1.2. Рассмотрим теперь линейную систему алгебраических уравнений.
Напомним, что система называется совместной, если у нее есть хотя бы одно решение. Если же у системы нет ни одного решения, то ее называют несовместной. В 1-м семестре совместность
(несовместность) системы устанавливалась в ходе ее решения методом Гаусса. Ответ на вопрос: совместна или нет заданная система дает также теорема Кронекера-Капелли. Система (4) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы, т.е.
Рангом матрицы называется наибольший порядок ненулевого определителя в этой матрице. Ранг матрицы не изменяется, если:
В матрице поменять местами две строки (два столбца).
Строку (столбец) умножить на число, отличное от нуля.
К строке (столбцу) прибавить другую строку (другой столбец), умноженную (умноженный) на некоторое число.
С помощью действий матрицу можно привести к треугольному виду, из которого легко выделяется ненулевой определитель максимального порядка и находится ранг матрицы.
В случае совместности системы она имеет только одно решение, когда , если же , то общее решение системы содержит бесконечно много решений и зависит от параметров.
Решение.
С помощью действий приведем матрицу к треугольному виду
1. В матрице переставили местами 1-ю и 3-ю строки, получили матрицу .
2. В матрице : прибавили ко 2-й строке 1-ю строку, умноженную на число 2;
прибавили к 3-й строке 1-ю строку, умноженную на число ( );
прибавили к 4-й строке 1-ю строку, умноженную на число ( );
прибавили к 5-й строке 1-ю строку, умноженную на число ( ).
3. В матрице : прибавили 2-ю строку к 3-й строке;
прибавили 2-ю строку к 4-й строке. Получили матрицу .
4. В матрице прибавили к 5-й строке 4-ю строку, умноженную на число ( ). Получили .
5. В матрице сначала переставили местами 3-ю и 4-ю строки, затем переставили местами
3-й и 4-й столбцы. В результате получили матрицу .
Ранги матриц совпадают. Ранг матрицы равен трем, т.к. у этой матрицы есть определитель третьего порядка (это определитель на пересечении первых трех строк и первых трех столбцов), отличный от нуля:
а все определители четвертого и пятого порядка содержат нулевую строку, и поэтому равны нулю.
Пример 5. С помощью теоремы Кронекера-Капелли исследовать совместность системы
Решение.
Найдем одновременно ранги расширенной матрицы и матрицы данной системы. При этом следует иметь в виду, что последний столбец расширенной матрицы нельзя переставлять местами с другими столбцами. Заметим, что матрица совпадает с матрицей из примера 4. Поэтому, нахождение ранга в точности повторяет действия, выполненные при нахождении ранга .
. Последний столбец не переставлялся местами с другими столбцами, поэтому по матрице , исключая из рассмотрения последний столбец матрицы , находится ранг матрицы системы. . Итак, установлено, что . Следовательно, система совместна. У нее число неизвестных равно 5, и . Значит, общее решение системы содержит бесконечно много решений, зависящее от параметров.
Пример 6. С помощью теоремы Кронекера-Капелли исследовать совместность системы
Решение.
______________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Найти координаты вектора , заданного в базисе в новом базисе , если .
2. Найти координаты матрицы в стандартном базисе и с помощью закона преобразования координат в базисе линейного пространства .
3. С помощью теоремы Кронекера-Капелли исследовать совместность следующих линейных систем: