Часть1(Физические основы механики.Колебания) (Лекции по физике), страница 7

( С П Е Ц И А Л Ь Н О Й ) Т Е О Р И И О Т Н О С И Т Е Л Ь Н О С Т И

1. Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея

Если системы отсчета движутся относительно друг друга равномерно и прямолинейно и в одной из них справедлив 1- й закон Ньютона, то эти системы являются инерциальными. Галилей установил:

во всех инерциальных системах отсчета законы классической механики имеют одинаковую форму.

В этом заключается суть принципа относительности Галилея.

Д ля его доказательства рассмотрим две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью , вдоль направления OX, рис. 1.

Одну из них обозначим буквой K и будем считать неподвижной, другую, которая движется со скоростью обозначим . Предположим, что в начальный момент времени t=0 начало О совпадает с , Пусть в момент времени t движущаяся точка находится в положении М, тогда

,

причем

.

Т

Рис. 1

аким образом,

. (1)

Запишем (1) в проекциях

. (2)

Формулы обратного преобразования имеют вид

(3)

. (4)

Формулы (2) или (4) носят название преобразований координат Галилея. В них время считается абсолютным и поэтому не преобразуется.

Соотношения (1) – (4) справедливы лишь в рамках классической механики, когда V<<c.

Дифференцируя (1) по времени t, получим

или , (5)

где – скорость точки М в системе отсчета K, а – в системе K'.

Эта формула выражает нерелятивистский закон сложения скоростей или правило сложения скоростей в классической механике (она остается справедливой и в случае, когда непостоянна).

Дифференцируя (5) в предположении , получим

или . (6)

Таким образом, ускорение в обеих инерциальных системах отсчета одно и то же, или говорят: ускорение инвариантно (неизменно, независимо) относительно преобразования Галилея.

Следовательно, уравнение движения не изменяется при переходе от одной инерциальной системы к другой. Таким образом:

уравнения механики Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея.

Это утверждение носит название принципа относительности Галилея. Из него следует, что никакими механическими опытами, проведенными внутри данной системы отсчета, нельзя установить, находится ли система в покое или движется равномерно и прямолинейно.

2. Постулаты частной теории относительности

Исторически именно закон сложения скоростей (5) показал ограниченность галилеевых представлений о свойствах пространства и времени.

Действительно, согласно этому закону по отношению к системе отсчета, догоняющей свет, скорость света должна быть меньше, чем по отношению к покоящейся системе, т. е. должна быть равна (c - V).

При противоположном движении скорость света должна быть равна (с + V ). На самом деле это не наблюдается. Из опытов следует, что с - скорость света в вакууме в различных инерциальных системах отсчета имеет одно и то же значение.

Впервые постоянство скорости света было обнаружено в опытах Майкельсона и Морли, поставленных в период с 1880 по 1887 г. В этих опытах в качестве движущейся системы отсчета использовалась Земля, которая движется по орбите вокруг Солнца со скоростью . Скорость света вдоль направления движения Земли сравнивалась со скоростью света поперек этого направления. Скорости оказались одинаковыми.

Из уравнений Максвелла, описывающих электромагнитные явления, также вытекает постоянство скорости света.

В 1905 г. Эйнштейн предложил отказаться от поиска объяснений, почему скорость света во всех инерциальных системах отсчета оказывается одинаковой. Им была высказана смелая мысль о том, что постоянство скорости света является фундаментальным свойством природы, которое нужно констатировать как факт.

Постоянство скорости света в вакууме во всех инерциальных системах отсчета известно под названием постулата Эйнштейна. Постулат это то же самое, что и аксиома: "бесспорная, не требующая доказательств истина".

Другим постулатом является принцип относительности Эйнштейна:

законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета или уравнения, выражающие законы природы, инвариантны к преобразованиям Лоренца.

Из этого постулата следует, что никакими опытами (механическими, электрическими, оптическими и др.), проведенными внутри данной системы отсчета, нельзя установить находится ли она в покое, или движется равномерно и прямолинейно.

3. Преобразования Лоренца

Постулаты Эйнштейна требовали коренного пересмотра представлений о свойствах пространства, времени и движения. Покажем это на простом примере.

Представим себе, что движущейся системой отсчета K', является поезд. Пусть в момент, когда его хвостовой вагон поравнялся со стрелочником (система отсчета K), стоящим на насыпи, из этого вагона был послан световой сигнал машинисту. Через время машинист этот сигнал регистрирует, тогда скорость света , где – длина поезда в системе K'.

Обозначим через время, отсчитываемое стрелочником. Что касается пути, пройденного светом с точки зрения стрелочника, то он состоит из длины поезда , движущегося со скоростью V, и расстояния Vdt, на которое за время хвостовой вагон отъедет от стрелочника.

Итак, с точки зрения стрелочника .

Очевидно, что (7)

несовместимо с условиями .

Нужно либо считать, что , т. е. поезд с точки зрения стрелочника стал короче, либо время в движущейся системе идет медленнее, т. е. . Оказывается, имеет место и то и другое одновременно.

П окажем, что движущиеся часы идут медленнее. Для этого рассмотрим две инерциальные системы отсчета K и K'. Систему K будем считать покоящейся, а систему K' – движущейся со скоростью V, (см. рис. 2).

П

Рис. 2

редположим, что в системе K находятся часы в виде двух параллельных зеркал и источника света. Они неподвижны в системе K'. Свет включается на короткое время и начинает двигаться вверх и вниз, попеременно отражаясь от верхнего и нижнего зеркал, (см. рис. 2.). В таких часах качающимся маятником является луч света.

Рассмотрим один из полупериодов, когда свет движется сверху вниз. Пусть с точки зрения наблюдателя системы K' это происходит за время t', тогда расстояние между зеркалами будет , причем оно будет поперечным, как по отношению системы K', так и системы K, и поэтому одинаковым в этих системах. Однако с точки зрения наблюдателя системы K свет распространяется наклонно, т. е. свет будет снесен вправо на расстояние Vt.

Из рис. 3 по теореме Пифагора находим , откуда

, (8)

где , т. е. движущиеся часы идут медленнее, чем неподвижные.

Подтверждением этого служит время жизни движущихся мюонов; собственное время их жизни мкс, а по часам неподвижным относительно Земли - значительно больше:

, (9)

где V – скорость мюона относительно Земли, – коэффициент Лоренца, .

Подобным образом можно показать, что размеры тел в направлении движения сокращаются, т. е.

. (10)

Исходя из двух постулатов, Эйнштейн в 1905 г. вывел преобразования Лоренца (полученные Лоренцом в 1904 г. как преобразования, по отношению к которым уравнения классической микроскопической электродинамики – уравнения Лоренца- Максвелла сохраняют свой вид).

Напишем их подобно преобразованиям Галилея:

, (11)

. (12)

Для медленных движений, когда преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Используя соотношения (11), (12), можно показать, что пространственные расстояния при преобразованиях Лоренца изменяются, т. е. , где

(13)

. (14)

Этот эффект называется лоренцевым сокращением длины.

Неизменным (инвариантным) при преобразованиях Лоренца остается так называемый интервал между событиями

. (15)

4. Закон сложения скоростей в релятивистской механике

Дифференцируя (11) по , а (12) по можно найти скорости

В случае движения частицы параллельно осям ОХ и O'X’ в направлении скорости . (16)

Эта формула выражает закон сложения скоростей в релятивистской механике. При =c, из (16) найдем, что .

Или пусть =c, а , где - малая величина, то

.

5. Понятие о релятивистской динамике

5.1 Масса в ньютоновской и релятивистской механике

При изучении движения тел, скорости v которых пренебрежимо малы по сравнению со скоростью света с (v/c → 0), имеет место нерелятивистское приближение. В этом случае, масса т определяет инерционные ( или ) и гравитационные ( ) свойства тел – от макроскопических объектов до атомов и элементарных частиц. Она служит мерой содержащегося в теле вещества. В этом приближении (v/c → 0) соблюдаются законы сохранения и аддитивности массы:

масса изолированной системы тел не меняется со временем и равна сумме масс тел, составляющих эту систему.