Главная » Просмотр файлов » Часть1(Физические основы механики.Колебания)

Часть1(Физические основы механики.Колебания) (1018205), страница 6

Файл №1018205 Часть1(Физические основы механики.Колебания) (Лекции по физике) 6 страницаЧасть1(Физические основы механики.Колебания) (1018205) страница 62017-07-08СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Пусть материальная точка все время вынуждена находиться на какой-либо заданной поверхности. В этом случае независимыми остаются две координаты, например, х и у. Третья координата может быть вычислена из уравнений связи f(х,у,z) =0. В таких условиях точка обладает двумя степенями свободы.

Если точка может перемещаться только вдоль какой-либо заданной кривой, то число независимых координат, требующихся для определения ее положения, снижается до одного. За координату можно принять, например, расстояние материальной точки от фиксированной точки на кривой, отсчитанной вдоль этой кривой. В таких случаях говорят, что точка обладает одной степенью свободы.

В случае механической системы из n материальных точек, которые могут перемещаться без всяких ограничений, для определения их мгновенного положения надо задать 3п координат. В этом случае говорят, что система обладает 3п степенями свободы.

Часто свобода перемещения материальных точек ограничена. На 3п координат налагаются дополнительные условия, называемые связями. Для однозначного определения положения всех материальных точек системы достаточно знать меньшее число координат. Обозначим его через f. Остальные 3п – f координат могут быть вычислены из уравнений связи.

В качестве независимых координат могут быть использованы любые величины любой размерности

,

заданием которых положение материальных точек системы определяется однозначно. Такие величины называются обобщенными координатами. Обобщенные координаты могут быть выбраны как угодно, лишь бы они в любой момент времени полностью определили положение механической системы. Однако число независимых обобщенных координат f во всех случаях будет одно и то же, и оно равно числу степеней свободы системы.

7.2. Число степеней свободы твердого тела

Абсолютно твердым телом в механике называют идеализированную систему материальных точек, все расстояния между которыми при движении системы не изменяются с течением времени.

Чтобы однозначно определить положение твердого тела достаточно задать положение каких-либо трех точек А, В, С, не лежащих на одной прямой. Положение точек можно задать их прямоугольными координатами

Эти девять координат, однако, не независимы, а связаны тремя соотношениями:

поскольку длины АВ, АС, ВС не изменяются при движении твердого тела. Независимых координат остается только шесть – твердое тело имеет шесть степеней свободы. Отметим, что твердое тело, одна из точек которого неподвижно закреплена, может только вращаться вокруг этой неподвижной точки, имеет три степени свободы. Твердое тело, которое может только вращаться вокруг закрепленной оси, имеет одну степень свободы.

Если же твердое тело может скользить вдоль закрепленной оси и одновременно вращаться вокруг нее, то число степеней свободы равно двум.

7.3. Уравнение движения и равновесия твердого тела

Так как твердое тело является механической системой с шестью степенями свободы, то для описания его движения требуется шесть независимых числовых уравнений или два независимых векторных уравнения.

Одно из них – это уравнение движения центра масс С

, где . (1)

Второе – уравнение моментов

. (2)

Если твердое тело покоится, то уравнения (1) и (2) переходят в

. (3)

Это необходимые условия равновесия твердого тела. Но они не являются достаточными. При их выполнении центр масс может двигаться прямолинейно и равномерно с произвольной скоростью, а само тело может вращаться с сохранением момента импульса. Такое движение твердого тела называют свободным. Следует отметить, что даже свободное движение твердого тела может быть очень сложным. Поэтому сначала рассмотрим простейший случай движения твердого тела.

7 .4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Движение твердого тела, при котором все точки прямой АВ, жестко связанной с телом, остаются неподвижными, называется вращением тела вокруг неподвижной оси АВ.

Такое твердое тело имеет одну степень свободы и его положение в пространстве полностью определяется значением угла поворота вокруг оси вращения из некоторого, условно выбранного, начального положения этого тела. Мерой перемещения тела за малый промежуток времени dt полагают вектор элементарного поворота тела. По модулю он равен углу поворота тела за время dt, а его направление совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика, направление вращения рукоятки которого совпадает с направлением вращения тела (рис. 1). Вектор угловой скорости . (4)

Если – радиус вектор, проведенный из некоторой точки О на оси вращения ОZ до произвольной материальной точки тела, то скорость этой точки определяется соотношением , (5)

где составляющая вектора , перпендикулярная оси, т.е. – кратчайшее расстояние от оси до материальной точки.

Уравнение динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z, имеет вид

dLz/dt = MzВНЕШН, (6)

г де MzВНЕШН – проекции моментов импульса и момента силы MzВНЕШН на ось вращения z. Выведем другое выражение для уравнения (6). Определим момент импульса относительно точки О, лежащей на оси ОZ (см. рис. 2), полагая , где – центр окружности, по которой движется i-я материальная точка твердого тела, тогда

.

Первое слагаемое перпендикулярно оси ОZ, а второе параллельно, так как .

Таким образом или , (7)

где величина

Рис. 2

(8)

называется моментом инерции тела относительно оси Z .

Тогда уравнение динамики тела, вращающегося относительно неподвижной оси Z [см. (6)], можно записать в виде MzВНЕШН или MzВНЕШН. (9)

7.5. Теорема Штейнера

В механике твердое тело обычно рассматривают как механическую систему, масса т которой непрерывно распределена по объему V тела, так что при вычислении момента инерции тела, суммирование в формуле (8), переходит в интегрирование

, (10)

где плотность тела, масса малого элемента объема dV, отстоящего от оси вращения тела на расстоянии .

Пример:

Расчет момента инерции однородного цилиндра относительно его геометрической оси Z.

Мысленно разделим цилиндр высоты h и радиуса R на концентрические слои толщиной dr. Если плотность материала цилиндра , то масса dm , заключенная в слое dr; будет равна: ; так как , , то .

Используя формулу (10), находим момент инерции однородного цилиндра:

,

где масса цилиндра.

Подсчет момента инерции тела относительно произвольной оси облегчается, если воспользоваться теоремой Штейнера:

, (11)

где – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной оси Z; dрасстояние между осями.

7.6. Кинетическая энергия при плоском движении

Плоским (плоскопараллельным) называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях. Представим плоское движение тела как поступательное движение со скоростью , некоторой точки 0 в нем и вращения вокруг оси, проходящей через эту же точку и перпендикулярной с угловой скоростью .

В этом случае скорость i-той материальной точки тела определяется формулой

.

Кинетическая энергия i- той материальной точки равна

или

.

Просуммировав по всем материальным точкам, получим

или , (12)

где М – полная масса тела, радиус-вектор центра масс, - момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку О.

Если в качестве точки О взять центр масс тела С, то и формула (12) упрощается: . (13)

Таким образом, если разбить плоское движение тела на поступательное со

скоростью центра масс Vc и вращательное с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через центр масс тела, то кинетическая энергия распадается на два независимых слагаемых, одно из которых определяется только скоростью центра масс Vc, а другое – угловой скоростью .

Из (13) следует, что при вращении тела относительно оси z, проходящей через центр масс С, его кинетическая энергия . (14)

7.7. Работа и мощность при вращательном движении

При повороте тела на малый угол вокруг оси Z совершается работа

. (15)

Мощность

. (16)

Сопоставим основные величины и уравнения поступательного и вращательного движений

Т А Б Л И Ц А № 1

ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Масса

m

момент инерции

J

Путь

S

угол поворота

Скорость

угловая скорость

касательное ускорение

угловое ускорение

Сила

момент силы

уравнение движения

уравнение движения

кинетическая энергия

кинетическая энергия

элементарная работа

элементарная работа

мощность

мощность

Л Е К Ц И И №№ 8 - 1 0 . П Р И Н Ц И П О Т Н О С И Т Е Л Ь Н О С Т И

Г А Л И Л Е Я , Э Л Е М Е Н Т Ы Ч А С Т Н О Й

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
2,76 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее