Нов__9_11 (Методичка по линейной алгебре)

11

Перейдем к решению задачи. Пусть , . ,

. Искомый угол - это DEC.

Согласно определению скалярного произведения, имеем

. Прежде чем перейти к вычислению заметим, что: 64, , .

Используя свойства скалярного произведения, получаем

.

.

Значит .

(Для сравнения решите эту задачу методами обычной геометрии и оцените трудоемкость двух подходов.)

б) Проекция вектора на вектор = .

в) Напомним некоторые свойства векторного произведения, необходимые для решения данной задачи.

1.Модуль векторного произведения векторов и равен произведению их модулей на синус угла между ними и равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

1. .

2. .

3. .

Заметим, что .

Тогда искомая площадь параллелограмма S равна

= .

Ответ: , = , S= .

Задача 3. Найти вектор , если  ,  , , где .

Прежде чем перейти к решению вспомним два факта, касающиеся скалярного произведения векторов.

1.Два вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.  .

2.Если в ортонормированном базисе координаты векторов и соответственно равны , , то .

Решение. Пусть , где x, y, z - неизвестные.

Так как  , то . Отсюда 2x+y-z=0.

Так как  , то . Отсюда 3y-2z=0.

Так как , то x+y+z=6.

Для нахождения неизвестных получаем систему уравнений

Решим систему методом Крамера. Определитель системы .

(вычислен разложением по первому столбцу).

.

(вычислен разложением по первому столбцу).

.

(вычислен разложением по второму столбцу).

.

(вычислен разложением по третьему столбцу).

Тогда , , .

Приведем второй способ решения этой задачи, использующий некоторые свойства векторного произведения.

Напомним, что векторное произведение векторов , это вектор перпендикулярный каждому из векторов и .

Если векторы и в ортонормированном базисе имеют координаты , , то координаты векторного произведения могут быть вычислены по формуле

= .

Перейдем к решению. Поскольку неизвестный вектор перпендикулярен векторам и , то он параллелен их векторному произведению. Тогда = , где  -неизвестное число.

Имеем =

= .

Тогда = ={; 4;6}. Так как , то + 4+6=6.

11=6. = . Значит, вектор имеет координаты = .

Ответ: = .