Нов__5_8 (Методичка по линейной алгебре)

8

Контрольная работа 1.

Задача 1. Решить уравнение .

Прежде чем приступить к решению задачи, напомним некоторые сведения из теории определителей.

Матрицей A размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов, которую будем представлять в виде.

A= .

Символом обозначается элемент, стоящий на пересечении строки с номером i и столбца с номером j. Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Понятие определителя имеет смысл только для квадратной матрицы. Определитель - это некоторое число, которое ставится в соответствие квадратной матице. Оно обозначается символом  или . Ниже будет изложено правило его вычисления.

Для матрицы А размерности А= по определению

.

Минором матрицы А называется определитель матрицы, получаемой из матрицы А путем удаления строки с номером i и столбца с номером j.

Например, для матрицы имеем .

Алгебраическим дополнением элемента называется число, равное значению минора , если i+j четное, и равное значению минора с противоположным знаком (- ) в противном случае. Алгебраическое дополнение будем обозначать символом . Таким образом .

Например, для матрицы имеем .

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Например, для матрицы второго порядка имеем .

Представление определителя в виде сумме произведений элементов некоторой строки или столбца на их алгебраические дополнения называется разложением по элементам этой строки или столбца.

Например, вычислим определитель матрицы путем разложения по элементам первой строки. Имеем

. При вычислении определителей матрицы второго порядка мы воспользовались приведенной ранее формулой.

Отметим, однако, что непосредственное применение метода разложения по строке или столбцу для определителя большого порядка приводит к большому числу операций. Существенно упрощают процесс вычислений следующие три свойства определителей.

1. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

2. При умножении стоки или столбца на некоторый множитель определитель умножается на этот множитель.

3. Определитель не изменится, если к элементам одной строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на некоторый множитель.

Приведем пример применения этих свойств при вычислении определителя.

Задача. Вычислить .

Из второй строки вычтем первую, умноженную на 2; из третьей вычтем первую, умноженную на 3; из четвертой вычтем первую.

Тогда . Разложив определитель по первому столбцу, получаем . Из первой строки вынесем множитель 2.

. Из второй строки вычтем первую, умноженную на 2; из третьей вычтем первую, умноженную на 3. Получаем . Разложим по первому столбцу

Теперь перейдем непосредственно к решению задачи.

Решить уравнение .

Разложим данный определитель по элементам третьей строки. (Отметим, что выбор строки или столбца не влияет на конечный результат. В данном случае это просто удобнее, чтобы уже на первом этапе выделить неизвестную величину.)

Получаем .

Полученные четыре определителя третьего порядка вычислим путем разложения по элементам первой строки.

.

.

.

.

Следовательно, имеем 1(-2)-x(-3)+2(1)-3(2)=0. 3х=6. х=2.

Ответ: x=2.

Задача 2. Дано: , . Угол между векторами равен =/3.

Найти:

а) косинус угла между векторами и ;

б) проекцию вектора на вектор ;

в) площадь параллелограмма построенного на этих векторах.

Для решения части а) данной задачи вспомним следующие основные свойства скалярного произведения векторов.

Скалярное произведение двух векторов и - это скалярная величина, равная произведению их модулей на косинус угла между ними, то есть .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. . При этом тогда и только тогда, когда .

1. .

2. .

3. .

Заметим что .

А теперь представим себе, что имеется некоторая операция, называемая скалярным произведением, которая любым двум векторам ставит в соответствие некоторое число и при этом удовлетворяет четырем вышеуказанным свойствам. Тогда, зная способ вычисления скалярного произведения, мы можем вычислять модуль вектора, углы между векторами, проекцию одного вектора на другой по следующим формулам:

1.модуль вектора ;

2.угол  между векторами и cos= .

3.проекцию вектора на вектор .