Нов_37_39 (Методичка по линейной алгебре)

5

Линии второго порядка.

Определение. Линией второго порядка называется линия, уравнение которой в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет вид:

.

Привести уравнение линии к простейшему виду - значит найти систему координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой вид.

Приведем основные простейшие уравнения кривых второго порядка.

Уравнения эллипса.

Каноническое уравнение эллипса:

, .

К простейшим уравнениям эллипса относится также уравнение , .

Уравнения гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы:

. Прямые - асимптоты гиперболы.

К простейшим уравнениям гиперболы относится также уравнение вида .

Уравнения параболы.

Каноническое уравнение параболы:

, (p >0).

К простейшим уравнениям параболы относятся уравнения вида:

; ; .

Пусть в уравнении линии второго порядка коэффициент В не равен нулю. Найдем систему координат ( О ) с началом в точке О, повернутую по отношению к системе (XOY) против часовой стрелки на угол , такую, что в этой системе координат уравнение линии не содержит произведения координат . Связь между координатами точки М в исходной и повернутой на угол  системах определяется формулами:

,

.

Подставляя эти соотношения в уравнение линии и раскрыв скобки, получим уравнение вида:

,

где:

,

,

,

,

,

.

Отметим, что , . (При вычислении коэффициентов рекомендуется проверять выполнение этих соотношений.)

Из условия получаем уравнение для определения угла .

.

Разделив его на 2 , получаем уравнение для определения .

.

Заметим, что данное уравнение определяет два значения , которые соответствуют двум взаимно перпендикулярным направлениям. Рекомендуется выбирать положительное значение . Тогда , .

После подстановки соответствующего значения угла уравнение примет вид

.

Рассмотрим систему координат ( , оси координат которой параллельны осям системы координат ( , а начало (точка ) в системе координат ( имеет координаты ( , ).

Связь между координатами точки М в указанных системах координат определяется формулами:

,

.

Подставляя эти соотношения в уравнение линии и раскрыв скобки, получим уравнение вида:

,

где , , , , .

Если и , то выберем , из условия , . То есть , .

Тогда уравнение можно представить в виде:

,

где . Это уравнение легко исследуется.

Если один из коэффициентов или равен нулю, то выбор , осуществляется по следующей схеме. Пусть для определенности =0. Считаем, что . Значения , выберем из условия , . То есть,

, .

5