Нов_31_33 (Методичка по линейной алгебре)

33

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Прежде чем перейти к изложению метода напомним некоторые понятия.

Произведение матриц.

Произведение матриц АВ=С определено только тогда, когда число столбцов в первом множителе (матрица А) равно числу столбцов во втором множителе (матрица В). Результат произведения (матрица С) имеет столько строк, сколько у первого множителя (матрицы А), число столбцов матрицы С равно числу столбцов у второго множителя (матрицы В). Ниже будет указан способ вычисления элементов матрицы С.

Пусть размерности , - . Тогда (С=АВ) имеет размерность . Элементы матрицы вычисляются по формуле = .

(То есть элементы строки с номером i в первой матрицы умножаются на соответствующие элементы столбца с номером j во второй матрице и полученные произведения складываются.)

Рассмотрим пример.

Найти матрицу С=АВ, если , .

Поскольку первый множитель имеет две строки, а второй два столбца, то матрица С имеет размерность . . Определим элементы матрицы С.

При вычислении берем первую строку матрицы А - (2 0 1) и первый столбец матрицы В , почленно перемножаем и складываем =2 3+0 1+1 5=11.

Аналогично находим :

• . Первая строка А - (2 0 1), второй столбец В- , тогда =2 4+0 0+1 2=10;

• . Вторая строка А - (3 2 4), первый столбец В - , тогда =3 3+2 1+4 5=31;

• . Вторая строка А - (3 2 4), второй столбец В- , тогда =3 4+2 0+4 2=20.

Ответ: .

Отметим, что в общем случае АВВА.

Введем понятие единичной матрицы. Единичной матрицей называется квадратная матрица Е размерности , у которой все элементы на главной диагонали равны 1, а остальные нулю. Например, единичная матрица размерности (3 3) имеет вид . Элементы единичной матрицы часто обозначают символом , где .

Отметим, что для любой матрицы А той же размерности имеет место равенство АЕ=ЕА=А.

Для квадратной матрицы определено понятие обратной матрицы.

Матрица называется обратной к матрице А если выполнено А=А =Е.

Если определитель матрицы А не равен нулю, то матрица А имеет обратную.

Далее мы изложим два способа вычисления обратной матрицы.

Первый способ позволяет вычислять элементы обратной матрицы по готовой формуле. Если обозначить - элементы матрицы А ( ), - элементы обратной матрицы ( ),  - определитель матрицы А, то имеем , где обозначено алгебраическое дополнение к элементу в матрице А.

Приведем пример.

Найти матрицу обратную А, если .

Вычисление обратной матрицы удобно проводить по схеме.

1. Вычисляем определитель матрицы А разложением по

первой строке.

.

1. По заданной матрице находим транспонированную матрицу . (Напомним, что транспонированная матрица получается из матрицы А путем замены ее строк столбцами, причем каждая строка заменяется столбцом с тем же номером.)

.

1. В транспонированной матрице каждый элемент заменяем на его алгебраическое дополнение. Получаем матрицу .

2. Полученную матрицу делим на определитель и получаем обратную матрицу.

.

Рекомендуем самостоятельно умножить А на и убедиться, что найденная матрица является обратной.

Второй способ нахождения обратной матрицы называется методом присоединенной матрицы. Суть метода состоит в следующем. Если некоторой последовательностью элементарных преобразований строк матрица А приведена к единичной, то та же последовательность элементарных преобразований приводит единичную матрицу к обратной. Последовательность действий при этом методе напоминает метод Жордана-Гаусса.