Нов_25_27 (Методичка по линейной алгебре)

3

Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений.

Правило Крамера применимо лишь для решения таких систем, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, и определитель отличен от нуля. Более общим методом является метод Жордана-Гаусса.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

Матрица системы A - составленная из коэффициентов при неизвестных имеет размерность (mn) :

.

Расширенная матрица В имеет размерность (m(n+1)) и получается присоединением к матрице системы А столбца свободных членов (для наглядности отделенного вертикальной чертой):

. Расширенная матрица полностью определяет систему уравнений.

Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы назовем следующие действия:

а) перестановка местами двух строк (столбцов) матрицы;

б) умножение любой строки (столбца) на любое число не равное нулю;

в) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца) умноженной на любое число;

г) вычеркивание строки (столбца) , состоящей из одних нулей.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений назовем следующие действия:

а) перестановка местами двух уравнений системы;

б) умножение любого уравнения системы на любое число, не равное нулю;

в) прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на некоторое число;

г) вычеркивание уравнения, в котором все коэффициенты и свободный член равны нулю.

Элементарные преобразования переводят данную систему линейных уравнений в эквивалентную систему. Элементарным преобразованиям системы соответствуют аналогичные элементарные преобразования строк ее расширенной матрицы.

Суть метода Жордана-Гаусса решения системы линейных уравнений состоит в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. На первом этапе исключается неизвестное из всех уравнений системы, кроме первого. Применительно к расширенной матрице это означает, что с помощью элементарных преобразований строк получаем матрицу, в которой все элементы первого столбца, кроме равны нулю. Этого можно добиться следующим образом:

- переставляем строки расширенной матрицы так, чтобы элемент не был равен нулю (при решении систем с большим числом неизвестных предпочтительна такая перестановка строк, при которой элемент оказывается наибольшим по абсолютной величине);

- из второй строки вычитаем первую, умноженную на ;

- из третьей строки вычитаем первую, умноженную на ;

- аналогично поступаем с остальными строками.

В итоге расширенная матрица примет вид:

Если среди элементов второго столбца найдется хотя бы один не равный нулю, то аналогичными элементарными преобразованиями строк, начиная со второй (первая строка не используется) добиваемся того, чтобы все элементы второго столбца, стоящие ниже второго элемента, были равны нулю. Если же , то перенумеруем неизвестные так, чтобы среди названных элементов нашелся ненулевой. (Перенумерации неизвестных соответствует перестановка столбцов расширенной матрицы).

Аналогичным образом добиваемся того, чтобы в третьем столбце все элементы, стоящие ниже третьего, были равны нулю и так далее.

Если в процессе элементарных преобразований получается строка вида (0 0... 0  ), где 0, то это соответствует уравнению

, которое не имеет решений и, следовательно, система является несовместной.

Если в процессе элементарных преобразований получается строка вида (0 0... 0  0 ), то ее вычеркиваем.

В общем случае в результате описанных элементарных преобразований получим расширенную матрицу вида:

, где .

Заметим, что k не обязательно равно m, поскольку некоторые строки в процессе элементарных преобразований могли стать нулевыми и были вычеркнуты.

Рассмотрим два возможных исхода.

1.k=n.

В этом случае последней строке расширенной матрицы соответствует уравнение: , откуда . Строке с номером (n-1) соответствует уравнение: , из которого при уже известном определяется . Аналогично определяются остальные неизвестные, в этом случае (k=n) система линейных уравнений имеет единственное решение.

2.k<n.

В этом случае полагаем неизвестные ,.... свободными, то есть, полагаем, что они могут принимать любые значения, а остальные выражаем через них.

Из последней строки расширенной матрицы имеем:

,

откуда находим:

.

Аналогично с помощью (k-1) строки выражаем неизвестное и так далее.

В качестве первого примера рассмотрим решение системы уравнений (ранее решенной по правилу Крамера).