Нов_16_21 (Методичка по линейной алгебре)

21

Задача 9. Найти точку пересечения медиан в треугольнике АВС: A(0;12;24), B(36;6;6), C(18;48;36).

Напомним формулу деления отрезка в данном отношении. Точка M(x;y;z) делит отрезок в отношении , если .

Если координаты точек и соответственно равны , , то координаты точки М вычисляются по следующим формулам: , , .

Решение. Точка делит отрезок ВС пополам (в отношении =1).

Тогда , , .

Известно, что точка пересечения медиан М делит отрезок AD в отношении .

Следовательно , ,

.

Ответ: M(18;22;22).

Контрольная работа 2.

Задача 1. Вершины треугольника АВС имеют координаты: A(4;2), B(10;10), C(20;14).

Найти: а) уравнение и длину медианы, проведенной из вершины А;

б) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины А;

в) уравнение биссектрисы, проведенной из вершины А;

г) проекцию точки А на сторону ВС;

д) точку, симметричную точке А относительно стороны ВС.

Прежде чем приступить к решению данной задачи, напомним некоторые сведения об уравнении прямой на плоскости.

1.Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору (называемому нормальным вектором прямой) может быть записано в виде .

1. Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору (называемому направляющим вектором прямой) может быть записано в виде .

2. Уравнение вида Аx+By+C=0 (линейное относительно координат x, y) определяет на плоскости прямую линию и вектор будет перпендикулярен этой прямой.

3. Расстояние от точки до прямой, заданной уравнением Аx+By+C=0 вычисляется по формуле .

Определим уравнение медианы АМ.

Точка М( ) середина отрезка ВС.

Тогда , . Следовательно точка М имеет координаты M(15;17). Уравнение медианы на языке аналитической геометрии это уравнение прямой, проходящей через точку А(4;2) параллельно вектору ={11;15}. Тогда уравнение медианы имеет вид . Длина медианы АМ= .

Уравнение высоты AS - это уравнение прямой, проходящей через точку А(4;2) перпендикулярно вектору ={10;4}. Тогда уравнение высоты имеет вид 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0.

Длина высоты - это расстояние от точки А(4;2) до прямой ВС. Данная прямая проходит через точку B(10;10) параллельно вектору ={10;4}. Ее уравнение имеет вид , 2x-5y+30=0. Расстояние AS от точки А(4;2) до прямой ВС, следовательно, равно AS= .

Для определения уравнения биссектрисы найдем вектор параллельный этой прямой. Для этого воспользуемся свойством диагонали ромба. Если от точки А отложить единичные векторы одинаково направленные с векторами и , то вектор, равный их сумме, будет параллелен биссектрисе. Тогда имеем = + .

={6;8}, , ={16,12}, .

Тогда = В качестве направляющего вектора искомой прямой может служить вектор ={1;1}, коллинеарный данному. Тогда уравнение искомой прямой имеет вид или x-y-2=0.

Точка S(x,y) - проекция точки А на прямую ВС является точкой пересечения высоты AS и стороны ВС. Для определения координат точки S имеем систему уравнений.

Для ее решения воспользуемся формулами Крамера .

, , .

Имеем , . Cледовательно, S имеет координаты S( ).

Для определения координат симметричной точки воспользуемся тем, что точка S делит отрезок АК пополам (в отношении =1). Тогда . Тогда . Аналогично

К

Ответ: уравнение медианы ; длина медианы ; уравнение высоты 5x+2y-24=0; длина высоты ; уравнение биссектрисы x-y-2=0; проекция точки А на сторону ВС точка S( ); симметричная точка К .

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды: . Требуется найти:

1)косинус угла между ребрами AB и AC;

2)площадь грани ABC;

3)проекцию вектора на ;

4)объем пирамиды;

5)уравнение прямой AD;

6) уравнение плоскости ABC;

7)уравнение и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;

8)точку K - проекцию точки D на грань ABC;

9)точку P - проекцию точки D на ребро AB.

Напомним некоторые сведения об уравнениях прямой и плоскости в пространстве.

1. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору ={A;B;C} имеет вид .

2.Уравнение вида Ax+By+Cz+D=0 (линейное относительно координат x y z) определяет в пространстве плоскость и вектор ={A;B;C} (называемый нормальным вектором плоскости ) перпендикулярен этой плоскости.

1. Расстояние d от точки до плоскости, заданной уравнением Ax+By+Cz+D=0 равно .

4.Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору = (называемый направляющим вектором) может быть записано в одном из двух видов:

канонический ;

параметрический где

Решение.

Косинус угла  между ребрами AB и AC - это косинус угла между векторами и .

Имеем ={-12;2;-4}, ={-4;2;3}. cos= , , ,

Тогда cos=

Площадь грани ABC - это площадь треугольника АВС, которая равна .

{14;52;-16}

.

Проекция вектора на вычисляется по формуле . Так как ={-3;4;-3}, то ,

( )=(-12)(-3)+24+(-4)(-3)=56.

Следовательно .

Объем пирамиды вычисляется по формуле . Используя формулу вычисления смешанного произведения, получаем

Следовательно .

С точки зрения понятий аналитической геометрии уравнение прямой AD - это уравнение прямой проходящей через точку параллельно вектору ={-3;4;-3}. В каноническом виде уравнение данной прямой имеет вид ,

в параметрическом .

Для построения уравнения плоскости АВС воспользуемся следующими соображениями. (Отметим, что в учебниках имеется готовая формула уравнения плоскости, проходящей через три точки, однако мы не будем ее использовать.) Для построения уравнения плоскости необходимо знать точку и вектор, перпендикулярный этой плоскости. Даны координаты трех точек плоскости. Для построения перпендикулярного вектора воспользуемся свойством векторного произведения - векторное произведение векторов перпендикулярно каждому из векторов. Следовательно, если мы имеем два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости, то их векторное произведение будет перпендикулярно этой плоскости. Следовательно, перпендикулярный плоскости вектор может быть представлен в виде = .

Данное векторное произведение вычислено ранее. Имеем ={14;52;-16}.

Тогда уравнение плоскости имеет вид

14(x-10)+52(y-6)-16(z-6)=0 или 7x+26y-8z-178=0.

Для того, чтобы найти уравнение высоты, опущенной из вершины D(7;10;3) на грань ABC , будем иметь в виду следующее. Высота - это прямая линия, а для определения уравнения прямой необходимо знать точку и направляющий вектор. Координаты точки D нам известны. Но поскольку прямая перпендикулярна плоскости АВС, то она параллельна вектору ={14;52;-16}, перпен­дикулярному данной плоскости. (Координаты данного вектора были найдены при решении предыдущей задачи.)

Зная координаты точки D(7;10;3) и координаты вектора ={14;52;-16} получаем следующее параметрическое уравнение искомой прямой