Столярчук В.А. Материалы к курсу лекций. «Модели и методы анализа проектных решений»

Лекция № 14

Лекция № 14

Метод конечных элементов

Вариационный подход построения матрицы жесткости КЭ и всей системы

Содержание

Основные понятия вариационного исчисления 4

Уравнение Эйлера 12

Реализация вариационного подхода в МКЭ 15

Получение основной системы разрешающих уравнений 17

Совместное решение системы алгебраических уравнений 19

Характерные черты метода конечных элементов 20

Вариационный подход в МКЭ для задач теории упругости и строительной механики 21

Список литературы 26

Это наиболее часто используемый способ, причем в форме, которая позволяет раздельно определять для каждого из элементов матрицу жесткости и вектор внешних эквивалентных усилий реализуется с помощью вариационного подхода.

Известно, что во многих задачах механики сплошных сред для определения функции U(x, y, z) вместо совместного рассмотрения уравнения (6.1) и краевых условий (6.2) и (6.3) можно использовать условие стационарности некоторого функционала

 Э(U) = 0(6.19)

Из этого условия получаются разрешающие уравнения МКЭ.

В качестве функционалов чаще всего выступают различные энергетические выражения, к которым применяют известные энергетические принципы.

Например, для примера 1 об изгибе балки раздела 5.3.1 (см. лекцию 11) полная потенциальная энергия изгиба балки имеет вид:

Предпосылкой дальнейших рассуждений является фундаментальный принцип Лагранжа, суть которого заключается в следующем: в упругом теле, находящемся в равновесии, из всех возможных и отвечающих заданным граничным условиям систем перемещений в действительности имеют место те перемещения, при которых полная потенциальная энергия деформаций имеет минимальное значение.

Получается, что вместо рассмотрения уравнения изгиба балки:

(в развернутой записи через функцию прогиба балки) можно рассматривать задачу о поиске функции прогиба, доставляющей минимум полной потенциальной энергии изгиба балки.

Для подтверждения правомерности такого подхода решим задачу примера 1 вариационно–разностным методом.

Вариационно-разностный метод заключается в том, что производные искомой функции, входящие в подинтегральное выражение функционала потенциальной энергии, записываются в конечных разностях, а соответствующий интеграл заменяется суммой. Таким образом, определяется не функция из значений функционала, а значения этой функции в узлах сетки, сообщающие экстремум дискретному значению функционала. Алгебраические уравнения, из которых определяются эти значения искомой функции, строятся на основании упомянутого принципа Лагранжа, записанного для некоторой сетки, согласно которому: для каждого узла.

Где – значение искомой функции в узле

– дискретный аналог функционала энергии

Так как является квадратичной формой.

После преобразований получим разрешающую систему алгебраических уравнений вида:

Как видно эти уравнения полностью совпадают с уравнениями (5.3.21), полученными ранее простым методом сеток, что приводит к тем же результатам.

Такой вариационный подход обладает значительно большими преимуществами в методе конечных элементов, причём, настолько большими, что на сегодняшний день является доминирующим. Настолько доминирующим, что в отношении МКЭ часто декларируется, что в его основе лежит вариационное исчисление – область математики, давшей название вариационному подходу. Поэтому для уяснения преимуществ вариационного подхода необходимо рассмотреть постановку и решения задач вариационного исчисления.

Основные понятия вариационного исчисления

Наряду с задачами, в которых необходимо определить максимальные и минимальные значения некоторой функции Z=f(x). В задачах физики нередко возникает необходимость найти максимальные и минимальные значения величин особого рода, называемых функционалами.

Функционалами называются переменные величины, значения которых определяются выбором одной или нескольких функций.

Например, функционалом является длина l дуги плоской кривой, соединяющие две заданные точки А(х_о,y_о) и В (x₁,y₁).

Величина l может быть вычислена, если задано уравнение кривой y=y(x), тогда:

Площадь некоторой поверхности также будет являться функционалом. Моменты инерции, статические моменты, координаты центра тяжести некоторой однородной кривой или поверхности также являются функционалом, т.к. их значения определяются выбором кривой или поверхности.

В общем случае, вариационное представление является соответствующим функционалом, построенным на уже упоминавшимся принципе Гамильтона.

Рассмотрим физическую систему, являющуюся функцией независимых переменных х₁, х₂, х₃, ..., x_n и описываемую некоторым числом функций, называемых переменными состояния q₁, q₂, ..... q_n и их производными

Принцип Гамильтона постулирует существование некоторого функционала интегрального типа:

Экстремум которого определяется условием стационарности, характеризующим изменение системы.

Область определена на основе независимых переменных х_i, и подинтегральной функции , известной под названием функции Лагранжа.

Эта функция Лагранжа, характеризующая изменение физической системы, имеет прямой физический смысл и представляет собой разность двух членов энергетического типа: некоторого членаWc, характеризующего кинетическую энергию, который меняется по квадратичному закону в зависимости от частных производных , и членаWр, описывающего потенциальную энергию, которая является сложной функцией переменных состояния q_i..

Необходимым условием стационарности интеграла является дифференциальное представление физического явления, характеризуемого функционалом .

Для задач механики исходной предпосылкой является фундаментальный принцип Лагранжа, суть которого заключается в следующем: в упругом теле, находящемся в равновесии, из всех возможных и отвечающим заданным граничным условиям систем перемещений в действительности имеют место те перемещения, при которых полная потенциальная энергия деформаций имеет минимальное значение.

Пример

Электростатическое поле в двумерном пространстве.

Имеются две независимые переменные – координаты xи у, переменной состояния является электрический потенциал Vи его частные производные, составляющие напряженности электрического поля:

Очень простые энергетические представления приводят к понятиям потенциальной энергии: Wp= - (x,y)Vи составляющей кинетической энергии в среде, характеризуемой диэлектрической проницаемостью .

Тогда можно записать функцию Лагранжа:

Забегая вперёд, скажем, что дальнейшее решение строится с помощью уравнений Эйлера для подинтегральной функции L. Уравнения Эйлера от подинтегральной функции в рассматриваемой области, являющегося условием стационарности функционала , примет вид:

Или:

Как они получаются, покажем ниже. Сейчас же только скажем, что все законы механики и физики сводятся к утверждению, что некоторый функционал в рассматриваемом процессе должен достигать минимума или максимума.

В такой формулировке эти законы носят название вариационных принципов механики или физики. К числу таких вариационных принципов или простейших следствий из них принадлежат: принцип наименьшего действия, закон сохранения энергии, законы сохранения импульса, количества движения, момента количества движения, различные вариационные принципы классической и релятивистской теории поля, принцип Кастильяно в теории упругости и т.д.

Вариационное исчисление изучает методы, позволяющие находить максимальные или минимальные значения функционалов. Задачи, в которых требуется исследовать функционал на максимум или минимум называются вариационными задачами.

Большое влияние на развитие вариационного исчисления оказали следующие три задачи:

1. Задача о брахистохроне (линии быстрейшего ската)

В 1696 году Иоганн Бернулли опубликовал письмо, в котором предлагал вниманию математиков задачу о линии быстрейшего ската между двумя точками А и Б. В этой задаче требуется определить линию, соединяющую две заданные точки А и В, не лежащие на одной вертикальной прямой, и обладающая тем свойством, что материальная точка скатится по этой линии из точки А в точку В в кратчайшее время.

Легко видеть, что линией быстрейшего ската не будет прямая, хотя она и будет кратчайшим расстоянием между А и В, так как при движении по прямой скорость движения будет нарастать сравнительно медленно; если же мы возьмём кривую, более круто спускающуюся возле точки А вниз, то хотя путь и удлинится, но значительная часть оставшегося пути будет пройдена с большей скоростью. Решение задачи было дано И.Бернулли, Я. Бернулли, Г. Лейбницем, И. Ньютоном и Г.Лопиталем. Оказалось, что линией быстрейшего ската является циклоида, представляющая собой кривую, описываемую точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии.

Уравнение циклоиды в параметрической форме:

В декартовой системе координат:

Здесь – радиус катящегося круга, который определяется из условия прохождения через точки А и В. Интересной особенностью этой линии является её свойство: площадь циклоиды втрое больше площади производящего круга.

1. Задача о геодезических линиях (линиях на поверхности)

Мы имеем типичную вариационную задачу на так называемый связанный или условный экстремум. Необходимо найти минимум функционала , причем функции и должны подчиняться условию .

Эта задача была решена в 1698 году Я. Бернулли, но общий метод решения задач такого типа был дан лишь в работах Л. Эйлера и Ж. Лагранжа.

1. Изопараметрическая задача (требуется найти замкнутую линию заданной длины l, ограничивающую максимальную площадь S).

Такой линией, как было известно еще в Древней Греции, является окружность. Но в этой задаче требуется определить экстремум функционала S при наличии дополнительного условия - длина кривой должна быть постоянной, т. е. функционал сохраняет постоянное значение. Условия такого типа называются изопараметрическими. Общие методы решения задач с изопараметрическими условиями были разработаны Л. Эйлером.

Понятия вариационного исчисления рассмотрим в сравнении с понятиями математического анализа:

В связи с последним положением необходимо ввести следующие определения близости кривых у = у(х)и у=у₁(х).