Кривые у=у(х) и у=у₁(х) близки в смысле близости нулевого порядка, если модуль разности у(х)- у₁(х) мал.

Кривые у=у(х) и у=у₁(х) близки в смысле близости первого порядка, если модули разностей у(х)-у₁(х) иу’(х)-у₁’(х) малы.

Кривые у=у(х) иу=у₁(х) близки в смысле близости к-го порядка, если малы модули разностей:

у(х)-у₁(х)

у’(x)-y₁’(x)

..................

..................

y^(k)(x)-y₁^(k)(x)

После этого можно уточнить понятие непрерывности функционала.

Таким образом, вариация функционала - это главная, линейная по отношению ку, часть приращения функционала. При исследовании функционалов вариация играет такую же роль, какую играет дифференциал при исследовании функций.

Уравнение Эйлера

Эйлером для функционала было получено следующее выражение вариации:

Отсюда необходимое условие экстремума функционала приобретает вид:

Используя основную лемму вариационного исчисления:

Если для каждой непрерывной функции (х) , где функция непрерывна на отрезке , то на том же отрезке.

Получаем условие экстремума в виде или в развернутом виде: .

Это уравнение называется уравнением Эйлера (оно впервые было опубликовано в 1744 г.).

Интегральные кривые уравнения Эйлера у = у(х,C₁,C₂) называются экстремалями.

Только на экстремалях может достигаться экстремум функционала:

Пример1

На каких кривых может достигать экстремума функционал.

y(0)=0, y(1)=1

F(y’ )²+12xy=0, 12x-2y”= 0y”- 6x= 0отсюда:y=x³+С₁ x + C₂

Используя граничные условия, получаем С₁=0, С₂=0, следовательно экстремум может достигаться лишь на кривой у=х³.

Пример 2

Длина дуги плоской кривой

,

F_y’_y’y”=0, y”=0, y=C₁x+C₂, т.е. кривая наименьшей длины, проведенная между двумя точками, есть прямая.

Пример 3

Уравнение Эйлера имеет вид:

у” + y =0, его общим решением является: у= C₁Cos(x) + C₂Sin (x)

Используя граничные условия, получаем С₁=0, С₂=1, следовательно экстремум может достигаться лишь на кривой у=Sin(x).

Пример 4

Задача о наименьшей поверхности вращения: определить кривую с заданными граничными точками, от вращения которой вокруг оси абсцисс образуется поверхность наименьшей площади.

Как известно, площадь поверхности вращения:

Не записывая самого уравнения Эйлера, приведём его первый интеграл:

После упрощений, получаем: . Проще всего это уравнение интегрируется подстановкой .

Тогда , а

Итак, искомая поверхность образуется вращением линии, уравнение которой в параметрической форме имеет вид:

Исключая параметр будет иметь – семейство цепных линий, от вращения которых образуются поверхности, называемые катеноидами. Постоянные С₁и С₂определяются из условия прохождения искомой линии через заданные граничные точки. При этом, в зависимости от положения точек, может существовать одно, два или не одного решения.

Заключая этот раздел можно сделать вывод: чтобы найти функцию доставляющую минимум функционалу надо решить дифференциальное уравнение. Обратно: функция, являющаяся решением дифференциального уравнения, доставляет минимум функционалу. Следовательно, вместо решения дифференциального уравнения можно рассматривать задачу о стационарности некоторого функционала. Это и реализуется в МКЭ.

Реализация вариационного подхода в МКЭ

Вернёмся к условию (6.19)стационарности функционалаЭ(u) , повторив, что во многих задачах механики сплошных сред для определения функции U(x,y,z) вместо совместного рассмотрения уравнения (6.1) и краевых условий (6.2) и (6.3) можно использовать условие стационарности некоторого функционала

 Э(U) = 0 (6.19)

Вид выражения в функци­оналеЭ(u) соответствует характеру рассматриваемой краевой задачи, а само выражение содержит производные от u(x, y, z)только до m-го порядка вместо 2m в уравнении (6.1).

Это облегчает подбор аппроксимирующих функций в МКЭ для u(x,y,z), поскольку для получения однозначного значения функционалаЭ(u), как указывалось ранее, требуется обеспечить непрерывность функцииu(x,y,z) и ее производных лишь до (m-1)-го порядка включительно. Напомним, что в каждом из интерполирующих полиномов должны содержаться члены, обеспечивающие их переход к постоянным значениям при уменьшении размеров конечных элементов. При этом произ­водные m-го порядка могут иметь разрывы первого рода на гранях стыковки смежных конечных элементов.

После соблюдения этих условий построения интерполирующих полиномов можно, определяя значения функционала Э(u) для всей области , воспользоваться зависимостью

Где – значение функционала в замкнутом объеме е – го конечного элемента.

При этом с увеличением числа конечных элементов сумма в правой части выражения (6.20) будет равномерно стремиться к точному значению функционалаЭ(u) для всей области .

Ранее в главе 6.1.3 (лекция 12) для интерполирующего полинома были получены выражения (6.7 – 6.10). Повторим их:

Или (6.8)

Где (6.9)

А вектор (6.10) – есть вектор узловых неизвестных для полной области в местной системе координат.

Внося в функционалЭ(u) в выражение для u(x, y, z) получим некоторую функцию узловых неизвестных Э(q).

Получение основной системы разрешающих уравнений

Минимизируя функциюЭ(q)по всем элементам вектораqвсей области, получаем:

Учитывая, что :

Где суммирование производится по всем конечным элементам.

Для линейных задач функционалЭ(u) является квадратичной функцией от u и ее производных, и следовательно, e-ый член правой части (6.21) принимает вид:

Где – квадратная матрица, размером ( – число узловых неизвестных e -го элемента).

Коэффициенты этой матрицы определяются свойствами среды. Для физически нелинейных задач матрица является функцией вектора – вектор узловых неизвестных. Для физически линейных задач и независимы.

Вектор имеет размер , он характеризует внешнее воздействие на e-ый элемент.

С учетом (6.22) выражение (6.21) можно переписать:

Где – квазидиагональная матрица порядка rM (М - число элементов), – вектор размеромrM. Обратим внимание, что это уравнение полностью совпадает с уравнением (6.18).