LEC-32 (Материалы к лекциям)

17

Лекция 32

13. Представление результатов

Комплексный анализ системы методом конечных элементов проводится в три этапа:

• постановка задачи, которая заключается в геометрическом описании объекта, в определении способа его разбиения на конечные элементы, а также в указании его физических характеристик и граничных
  условий;

• вычисления методом конечных элементов, в ходе которых создается математическая модель объекта в виде системы уравнений, которая
  затем решается;

• обработка результатов, которая заключается в преобразовании
  дискретных данных, полученных на предыдущем этапе, в удобные для
  оператора величины.

Дадим краткое описание основных принципов анали­за результатов расчетов методом конечных элементов. Эти принципы исполь­зуются на последнем этапе решения задачи, который можно было бы назвать «экстрактором результатов» или «постпроцессором».

Задачи постпроцессора

Постпроцессор выполняет следующие функции:

• извлечение необходимых данных по запросу;

• интегральное представление результатов расчета;

• решение уравнений, описывающих постановку задачи.

13.1. Извлечение данных

Дискретизированная модель решаемой задачи сводится к совокуп­ности значений переменных, характеризующих состояние объекта и вычисленных в узлах аппроксимирующей сетки на этапе решения задачи. Возможность непосредственного использования этих переменных для обработки зависит от характера исследуемого явления. Так, при реше­нии задач теплопередачи наиболее предпочтительными являются дан­ные о распределении температуры, в то время как при анализе линейной упругости необходимо иметь данные о перемещениях.

В некоторых случаях может быть и так, что сама по себе переменная, характеризующая состояние объекта, не несет никакой информации. Например, при решении объемных задач по электромагнетизму сам вектор магнитного потенциала не несет никакой информации. Для разработчика нужна его производная , определяющая величину магнитной индукции. Даже в тех случаях, когда задача связана непосредственно с оценкой состояний, знание значений производных бывает очень полезным. Это, в частности, относится к задачам по изучению плотности теплового потока или упругих напряжений. Исследования дискретной модели объекта позволят получить следующие данные:

локальные значения (температуры, плотности теплового потока, перемещения, магнитной индукции);

интегральные показатели (величина теплового потока через поверхность, величина внутренней магнитной энергии).

13.2. Представление информации

Дискретизированная модель объекта, получаемая с помощью метода конечных элементов, позволяет определять интересующие нас локальные и глобальные величины.

Эти цифровые данные можно представить в виде таблиц значений,

предназначенных для пользователя. Такой метод требует больших

затрат времени и сил и применяется при отсутствии других более

совершенных методов (примером может служить цифровые результаты расчета перемещений и напряжений в Sigma, Nastran-е, AnSys).

Появление надежного графического оборудования позволило отойти

этого метода. ЭВМ обладает способностью на основании цифровых

значений синтезировать изображения, а затем выводить эти изображения на графопостроители или на графический видеотерминал. В получаемых таким образом рисунках используется определенная система графических символов, которая требует предварительного освоения. К этим символам относятся: кривые равных значений, траектории частиц, матрицы стрелок. Они имеют существенные преимущества по сравнению с цифровыми списками.

В частности, глобальные данные этого типа позволяют сразу выявить грубые ошибки в решении задачи. Это очень важно; одно это оправдывает все усилия, направленные на усовершенствование методов 'работки результатов.

13.3. Работа с уравнениями и задачами

Для получения частного решения, соответствующего конкретной задаче на основании ранее полученного общего решения задачи можно использовать постпроцессор. Часто бывает так, что новая задача описываете уже известным уравнением. В этом случае можно использовать связь, существующую между решениями для систем с конечными элементами. Если, например, какая-либо зона области требует более точного анализа, целесообразно извлечь эту зону, провести в ней достаточно подробную дискретизацию с граничными условиями, выведенными из общего уравнения. Другую возможность можно проиллюстрировать на примере исследования деформации проводника под действием соб­ственного электрического поля. Первоначальный анализ методом конеч­ных элементов позволяет получить закон распределения магнитного поля. Это следует из решения уравнений из области электромагнетизма, где определяются силы Лапласа, действующие на электрический провод­ник. Значения этих сил являются исходными данными при решении задачи линейной упругости методом конечных элементов.

Все сказанное имеет смысл лишь тогда, когда постпроцессор обеспе­чивает передачу информации к модулям верхнего уровня (геометрия, дискретизация, физические характеристики).

13.4. Выборка данных

Численное моделирование физического явления, описываемого диф­ференциальными уравнениями в частных производных, позволяет полу­чить значения точечных или интегральных параметров. Характер изме­нения параметров зависит как от исследуемого явления, так и от принятого метода моделирования. Однако при наличии большого количества разнообразных методов выборки данных они часто близки к друг другу независимо от рассматриваемых областей техники.

Цель данного раздела состоит в том, чтобы показать на примере все многообразие возможных подходов при расчете поля, а затем изложить возможные методы реализации выборки данных для уравнений с конеч­ными элементами.

Пример магнитостатического анализа двумерного объекта

Дискретизированное решение. В качестве примера, выбранного нами для иллюстрации сказанного выше, рассмотрим магнитостатическую задачу для двумерного случая, заданную вектором – потенциалом в декартовых координатах. Пусть в двумерном пространстве вектор имеет всего одну ненулевую составляющую, т.е. . Величина составляющей а определяется с помощью следующего урав­нения в частных производных:

в области Ω, или на границе Г, где J – плотность тока, проходящего перпендикулярно данной плоскости; - магнитная проницаемость среды, которая зависит от индукции .

Функционал, соответствующий этому уравнению, имеет вид

, где индукция и вектор магнитного поля зависят от составляющей а.

Переменная, характеризующая состояние объекта, интерполируется с помощью функций формы Ф сети конечных элементов следующей формулой: .

Значения переменной а в узлах сети представляют собой необра­ботанные результаты решения полученные путем минимизации функ­ционала.

Величины, которые выводятся из дискретизированного решения. К ним относятся:

- векторный магнитный потенциал в точке с координатами (х,у)

- магнитная индукция в точке с координатами (х,у)

;

- магнитная проницаемость в точке с координатами (х,у)
;

• напряженность магнитного поля в точке с координатами (х,у)
  ;

• магнитный поток через контур единичной глубины по оси
  образованный линией (х₁,у₁) — (х₂,у₂): ;

- ток в катушке (не зависит от решения): ;

• поток катушки: ;

- электромагнитная энергия в области: ;

-собственная индуктивность катушки (в предположении линейнос­ти): ;

- сила, действующая на катушку: ;

-момент, действующий на объект в воздушном пространстве или в
вакууме, полученный при интегрировании тензора Максвелла

, где -контур интегрирования;

- момент, действующий на объект в воздушном пространстве или в
вакууме, полученный методом виртуальных работ

.

Элементарные алгоритмы выборки

Предыдущий пример, взятый из области двумерной магнитостатики, использует ограниченное количество базовых операторов:

• обычные арифметические операторы: +, — , х , /;

• обычные математические функции: ;

• операторы дифференцирования поля: (дивергенция,
  градиент, ротор);

• операторы интегрирования в пространстве;

• оператор дифференцирования по времени;

• оператор интегрирования по времени.

Операнды либо являются исходными данными (например, ) либо являются решением уравнения, либо прямо или косвенно выводятся из решения (пример: .

Эти операнды бывают действительными (если явление статично или изменяется только при поэтапной обработке) либо комплексными (если явление изменяется по гармоническому закону).

Таким образом, в данном случае мы сталкиваемся с проблемами, очень похожими на те, которые возникают на этапе построения элемен­тарных матриц перед сборкой для решения методом конечных эле­ментов. Среди уже встречавшихся и решенных проблем можно назвать следующие:

• оценка какой-либо величины в одной точке, для которой известны
  ее принадлежность к элементу и ее локальные координаты в этом
  элементе;

• оценка какого-либо интеграла по элементу границы. Интегрирование может быть аналитическим или численным. Интеграл на грани­це, разделенной на элементы, получается в результате суммирования
  элементарных составляющих;

• оценка какого-либо интеграла по элементу области. Это базовый
  алгоритм метода конечных элементов. В данном случае интегрирование
  также может быть аналитическим или численным. Оно позволяет
  вычислить интеграл в любой подобласти, состоящей из набора конечных
  элементов.

Новыми являются следующие проблемы:

- оценка какой-либо величины в любой точке. В этом случае следует
обратиться к ранее сказанному и сначала определить, к какому элементу
принадлежит эта точка, а затем - каковы ее локальные координаты в
этом элементе. Последняя проблема легко решается в случае треугольников или прямолинейных тетраэдров, но требует решения системы
нелинейных уравнений в случае криволинейных элементов.