LEC-20 (Материалы к лекциям), страница 2

При построении полигональной модели предполагается, что техническое объекты ограничены поверхностями, которые отде­ляют их от окружающей среды. Такая оболочка тела изображается графически поверхностями. Поверхность технического объекта снова становится ограниченной контурами, но эти контуры яв­ляются уже результатом двух касающихся или пересекающихся поверхностей. Точки объекта (вершины) могут быть заданы пере­сечением трех поверхностей, множеством точек, удовлетворяю­щих определенному геометрическому свойству, в соответствии с которым определяется контур.

В основу полигональной модели положены два следующих математических положения:

• любую поверхность можно аппроксимировать многогранни­ком, каждая грань которого является простейшим плоским многоугольником (треугольник, четырехугольник);

• наряду с плоскими многоугольниками в модели допускаются поверхности второго порядка и аналитически неописываемые поверхности, форму которых можно определить с использованием различных методов интерполяции или аппроксимации.

Аппроксимация поверхностей общего вида плоскими гранями дает преимущество: для обработки таких поверхностей исполь­зуются простые математические методы. Недостатком метода является то, что сохранение формы и размеров проектируемого объекта зависит от числа граней многогранника, используемого для аппроксимации каждой поверхности. Чем больше число граней, тем меньше отклонение от действительной формы объекта. Отсюда вытекает еще один недостаток; с увеличением числа гра­ней в многограннике одновременно повышается и объем инфор­мации, необходимой для получения внутримашинного представ­ления. Вследствие этого увеличивается время манипулирования внутримашинным представлением объекта и соответствующий ему размер памяти.

Если для реального объекта существенно разграничение точек на внутренние и внешние по отношению к объекту, то говорят об объемных моделях. Для получения таких моделей сначала определяются поверхности, окружающие объект, а затем они собираются в объемы.

Конструктивными элементами объемной модели являются точка, контурный элемент, поверхность. При синтезе объемной модели конструктивные элементы образуют узлы сетевой струк­туры, а дуги устанавливают связь между ними. Например, узел есть точка пересечения трех контурных элементов, контурный элемент всегда принадлежит двум поверхностям, поверхности всегда принадлежат объемам.

Обособленным случаем объемной модели являются конструк­тивные модели, в которых геометрические объекты представляются в виде структур. В настоящее время известны следующие способы построения таких структур:

1) объем определяется как совокупность ограничивающих его поверхностей;

2) объем определяется комбинацией элементарных объемов;

3) сложная геометрическая структура определяется комбина­цией элементарных объемов с использованием таких операций, как геометрическое объединение, геометрическое пересечение, геометрическая разность. В данном случае под элементарным объемом понимается множество точек в пространстве. Например, прямоугольный параллелепипед можно получить пересе­чением шести линейных полупространств. Моделью такой геометрической структуры является древовидная структура. После построения структуры проектируемого объекта элементарные объемы аппроксимируются простейшими мно­гогранниками. Тогда моделью объекта является комбинация простейших многогранников.

Объемная модель геометрического объекта, полученная любым из указанных способов, является корректной, т. е. в данной мо­дели нет противоречий между геометрическими элементами, на­пример, отрезок не может состоять из одной точки. Коррект­ность модели можно проверить, используя формулу Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место следующая за­висимость:

f + e – k = 2, где f - число граней; е—число вершин; k—число ребер.

Для решения некоторых технических задач достаточно иметь изображение объекта на плоскости. В качестве примера можно привести схематические представления электрические схемы, рабочие чертежи. Для описания геометрических объектов можно использовать аналитически описываемые и неописываемые кривые. Системы геометрического моделирования, в которых преду­смотрена визуализация результатов моделирования, находят ши­рокое применение на практике. Используемые при этом геометрические элементы могут быть пространственными кривыми, плоскими поверхностями, поверхностями второго по­рядка и аналитически неописываемыми поверхностями, а также элементарными объемами. Аналитически неописываемые геомет­рические элементы, такие, как кривые и поверхности произволь­ной формы, используются преимущественно при описании объек­тов в автомобиле-, самолето- и судостроении. Вследствие высо­кой деформации искусственных и литейных материалов, исполь­зуемых для изготовления изделий, аналитически неописываемые кривые и поверхности применяются также при описании объектов в общем машиностроении.

В системах геометрического моделирования могут обраба­тываться двумерные и трехмерные объекты, которые, в свою очередь, могут быть аналитически описываемыми и неописывае­мыми объектами.

Последовательность действий, выполняемых при описании объектов сложной геометрической формы, зависит от концепции, положенной в основу системы геометрического моделирования. В двумерном пространстве можно манипулировать с объектами, представленными проволочными и полигональными моделями. Изображение объекта, представленного проволочной

моделью, получается в резуль­тате геометрического синтеза кон­турных элементов, поэтому в даль­нейшем невозможно произвести автоматическую штриховку по­верхностей объекта.

Если объект представлен по­лигональной моделью, то всегда можно определить область между контурными элементами этого объекта. Эту область, включая и её границы, рассматривают как единое целое, что значительно упрощает описание объекта, по­зволяет производить автоматиче­скую штриховку таких обла­стей, а также копирование и преобразование модели объекта. Кроме того, над полигональными моделями объектов можно выпол­нять геометрические операции — геометрическую разность, гео­метрическое объединение и геометрическое пересечение плоских поверхностей. Отверстия, получаемые в результате этих операций, автоматически учитываются при штриховке поверхностей. В большинстве двумерных систем геометрического моделиро­вания описание объекта осуществляется в интерактивном режиме в соответствии с алгоритмами, аналогичными алгоритмам традиционного метода конструирования. Расширением таких систем является то, что контурам или плоским поверхностям ставится в соответствие постоянная или переменная глубина изображения. Системы, работающие по такому принципу, называются 2,5-мер­ными системами. Этот класс систем позволяет получать на черте­жах аксонометрические проекции объектов.

В трехмерных системах геометрического моделирования воз­можна обработка трехмерных объектов, представленных прово­лочной, полигональной и объемной моделями. Описание детали с помощью полигональной модели происходит следующим образом: определяются контуры, ог­раничивающие деталь; на них «натягивается» поверх­ность.

Описание трехмерного объекта осуществляется, как правило, в режиме графи­ческого диалога между про­ектировщиком и компьютером. Суще­ственным моментом этого процесса является организация экранной плоскости. Наибольшее применение в различных прикладных областях находят полигональные и объемные модели. В настоящее время разработаны системы геометрического моделирования, которые манипулируют с поверхностями произвольной формы. Эти системы используются преимущественно в самолето-, автомобиле-и судостроении. Основой для конструирования таких поверхно­стей является задание опорных точек или параллельных опорных сечений — плазов.

В основу описания объекта с помощью элементарных объемов положен другой принцип. Деталь мысленно разбивается на эле­ментарные объемы, модели которых уже имеются в системе. В качестве элементарных объемов часто используются прямоугольный параллелепипед, усеченный конус, пирамида, ци­линдр, сфера, тор. Проектировщик может дополнительно опреде­лить и другие базисные тела, которые могут быть образованы путем параллельного переноса и вращения ограниченных поверх­ностей вдоль произвольной директрисы. В результате таких геометрических преобразований образуются линейчатые поверх­ности или поверхности вращения. Комбинация эле­ментарных объемов и базисных тел, для каждого из которых ука­зывается его положение в пространстве, определяет большинство проектируемых объектов.

Синтез объемных тел происходит с использованием геометри­ческих операций, которые аналогичны операциям над множест­вами. Для реализации этих операций в системах геометрического моделирования разработаны различные методы, в частности, метод соединения с проникнове­нием, метод контактного соединения и др., которые являются специфическим инструментальным средством систем геометрического моделирования и рассматриваются в специальных курсах, относящихся к этому предмету.

Структура исходных данных.

Данные, которые хранятся в модели, сильно различаются в за­висимости от типа моделирования. Рассмотрим данные наиболее характерные для четырех основных типов моде­лей.

1. Двумерная модель. В более простых моделях удовлетворяются тем, что работают с элементами, которые близки к уровню визуализа­ции. В более сложных моделях элементы ассоциируются функционально (например, размерные линии соотносятся с объектами или же запоми­нается способ соединения элементов). Структуры двумерных моделей весьма разнообразны и существенно зависят от области применения: в машиностроении удовлетворяются информацией, близкой к чистой графике, в схемотехнике можно опери­ровать символами и их соединениями (вполне естественно, что такое моделирование больше всего соответствует этому случаю, поскольку речь идет о двумерной задаче).

2. Каркасная модель. Хотя эта модель и трехмерная, она имеет мало возможностей. В ней хранится информация двух типов: топологическая (ребра, определяемые вершинами) и геометрическая (координаты вер­шин).

3. Поверхностная модель. В моделях этого типа хранится только описание поверхностей. Однако эти поверхности могут сильно разли­чаться, и разработчики моделей для работы с поверхностями исполь­зуют математические методы компактного представления, обеспечи­вающие возможность интерактивного режима и сложных расчетов.

4. Объемная модель. В такой модели хранится информация, позво­ляющая отличать материал от пустоты (при этом пустота может рассматриваться как особый вид материала). В настоящее время обыч­но используют два метода:

• объект представлен в модели охватывающей его «оболочкой». Тог­да, как и в каркасной модели, сохраняется информация геометрического и топологического типа, однако она более полная (грани заданы и ориентированы таким образом, что известны их наружная и внутрен­няя стороны).

• объект представлен в модели операциями построения, использованными для его задания. Сами операции могут быть представлены в процедурной форме или же структурой данных.