10

Лекция 20

8.4 Требования к построению программных систем на базе МКЭ и проблемы их алгоритмизации.

1. Прежде всего, программа должна быть написана на языке, приемлемом для возможно большего числа машин. Программа не должна быть ориентиро­вана на какое-то конкретное оборудование.

2. Следующим из наиболее важных требований к вычислительным

системам вообще и к реализующим методы конечного элемента и суперэлементов, в частности, является требование модульной структуры.

Модульная структура позволяет производить модификации и добавления к программе за приемлемое время, что является чрезвычайно важным свойством, так как оно гарантирует пригодность программы в течение долгого времени. Для рассматриваемого класса программных комплексов это означает возможность подключения новых матричных подпрограмм, добавления новых конечных элементов в связи с повышением уровня знаний, модифицирования подпрограмм, с тем, чтобы использовать преимущества новых систем памяти и процессоров, и, наконец, возможность расширения программы за счет включения новых задач.

При построении модульной программы можно руководствоваться рядом соображений, но, прежде всего, необходимо следить за тем, чтобы основные вычисления и обработка данных производились подпрограммами, не взаимодействующими друг с другом непосредственно. Этот принцип предполагает наличие управлявшей программы, устанав­ливающей и контролирующей последовательность выполнения независимых подпрограмм.

Основные функции такой управляющей программы:

1) установление и контроль последовательности выполнения моду­лей согласно заданию, полученному от пользователя;

2) определение, защита и обеспечение связи значений параметров каждого модуля;

3) распределение системных файлов для всех наборов данных, полученных в процессе выполнения программы;

4) обеспечение в полной мере возможности продолжения работы программы на случай запланированного или незапланированного прерывания.

Контроль за последовательностью выполнения отдельных подпро­грамм может осуществляться как со стороны пользователя, так и со стороны программы в форме контроля, с применением конечного числа таблиц, хранящихся в памяти.

3. Эффективность использования программные систем на базе МКЭ и МСЭ

в значительной мере зависит от способов выполнения основных матричных операций, имеющихся в программе; матричные подпрограммы должны быть надежны и эффективны, а все матричные операции должны производиться с обычной и двойной точностью. Для реализации МКЭ или МСЭ необходим следующий набор матричных операций: I) детализация; 2) умножение - сложение; 3) разбиение и включение; 4) транспо­нирование; 5) решение системы линейных алгебраических уравнений; 6) определение собственных значений и векторов; 7) интегрирование линейных дифференциальных уравнений.

Все подпрограммы, кроме последней, должны работать как при вещественных, так и при комплексных аргументах. Подпрограммы декомпо­зиции должны быть как для несимметричной, так и для симметричной матрицы.

4. Решение очень больших задач накладывает дополнительные требова­ния на рассматриваемый класс программных систем. Наиболее важное из них состоит в необходимости использовать алгоритмы для разреженных матриц.

Это требование обусловлено ограниченностью памяти ма­шин, недостаточным их быстродействием, а главное – стремлением решать более сложные и большие задачи в имеющихся условиях. В дополнение к программам, оперирующим с разреженными матри­цами, необходимы еще обслуживающие подпрограммы, упаковывающие мат­рицы так, чтобы на запоминающих устройствах хранились только нену­левые элементы.

Для минимизирования машинного времени при решении больших за­дач нужно отвести по возможности значительную часть оперативной па­мяти для матричных операций, уменьшив до минимума в процессе их вы­полнения обмен с внешними запоминающими устройствами. Динамическое использование основной памяти можно осуществить, если исполнитель­ная программа имеет хорошую оверлейную структуру и выделяет каждой подпрограмме на время исполнения наличные в текущий момент основ­ную память и устройства.

Вычисление матрицы жесткости обычно занимает большую часть вре­мени расчета, причем это время существенно зависит от того, разме­щается или не размещается матрица жесткости в оперативной памяти.

Качественное влияние увеличения числа узлов сетки на время формирования мат­рицы приведено на рисунке, где по горизонтальной оси приведено число узлов сетки конечных элементов.

Линейная часть графика соответствует полному размеще­нию матрицы в оперативной памяти. Кривол инейный участок характеризует увеличение времени счета при использовании внешних запоминающих устройств.

Объем входных данных для больших задач чрезвычайно велик. Значительная часть информации содержит описание конечно-элементной модели. Здесь приходится решать две задачи: минимизации време­ни на подготовку данных и контроля данных. Поэтому необходимо разра­батывать методики, позволявшие генерировать основные входные данные с помощью программы. Эти методики основаны обычно на использовании всякого рода регулярности характеристик исследуемой конструкции.

Объем выходных данных также очень велик. Поэтому представление результатов - тоже важная задача. Пользователь должен иметь возмож­ность выбрать из огромного объема выходных данных только нужные ему. В силу того, что графическое представление наиболее наглядно, необ­ходимы развитые средства машинной графики.

Перечисленные основные принципы построения реализованы во мно­гих программных системах, которые, помимо структурных различий и назначения, отличаются друг от друга и глубиной, и степенью завер­шенности проработки поставленных проблем.

5. Эффективность вычислительной системы зависит от качества и разнообразия используемых конечных элементов. Так как мнения рас­четчиков относительно целесообразности использования конкретных конечных элементов расходятся, то важно, чтобы библиотека элементов была как можно представительней.

Проблемы алгоритмизации

Для реализации МКЭ или МСЭ на ЭВМ требуется разработать значительное число проблем, учитывающих, если можно так выразиться, технологию решения. Как уже отмечалось, расчеты по МКЭ и МСЭ характеризуются боль­шим объемом вычислений, в которых участвуют большие массивы данных. Таким образом, в общем, проблемы алгоритмизации сводятся к отыска­нию необходимого баланса между требованиями к организации вычисле­ний, вытекающими из существа МКЭ и МСЭ, и допустимыми способами ис­пользования ЭВМ, позволяющими эффективно выполнить эти вычисления.

При реализации МСЭ на ЭВМ требуется учитывать технологию полу­чения решения этим методом. По сравнению с МКЭ эта задача значитель­но сложнее, во-первых, вследствие резкого увеличения объемов и усложнения характера взаимодействия многочисленных массивов данных в процессе решения задачи, во-вторых, из-за использования процедур, вообще отсутствующих в обычном алгоритме МКЭ.

Сразу отметим, что не все этапы расчета, изложенные выше, обес­печены в настоящее время машинными программами. Так, в ряде про­граммных систем процедуры последовательного разбиения конструкции, формирования иерархии типовых подструктур выполняются вручную. Для того чтобы реализовать МСЭ на ЭВМ в виде программного комплекса, предназначенного для расчетов прочности конструкции, необходимо ре­шить следующие основные проблемы;

1. Выбрать способ построения модели конструкции, т.е. структу­ру и содержание исходных данных для расчета.

2. Разработать средства автоматизации подготовки исходных дан­ных.

3. Выбрать способ представления исходных данных в запоминаю­щих устройствах ЭВМ.

4. Создать эффективные алгоритмы построения моделей подструк­тур (матриц жесткости).

5. Разработать численные процедуры перехода от моделей под­структур к суперэлементам.

6. Смоделировать кинематические и силовые граничные условия работы конструкции, представленной иерархией суперэлементов..

7. Организовать взаимодействие процедур МСЭ.

Рассмотрим кратко некоторые из этих проблем.

9. Подготовка исходных, данных.

Первым шагом любого практического расчета является описа­ние исходной конструкции. Оно может иметь разные формы в зави­симости от избранного способа внутреннего представления данных в вычислительной системе при расчетах по МКЭ, а также в зависимости от исполь­зуемых технических средств для автоматического приведения исходных данных различного типа к этому внутреннему пред­ставлению.

Например, начальный этап решения задачи методом конечных элементов состоит в дискретизации рассматриваемой области на треугольники, четырехугольники, четырехгранники и т.д. Такое разбиение несет геометрическую информацию о покрытии области элементами, с каждым из которых связано определенное число численных значений, необходимых для последующих вычислений (построение матриц, блокирование некоторых степеней свободы, решение систем, визуальное представление и т.д.). Эту информацию удобно определять как структуру данных, содержащую в сжатой и доступной форме все величины (геометрические и числовые).

Таким образом, при разработке системы алгоритмов реализа­ции МКЭ должны быть раздельно обсуждены вопросы внешнего описания конструкций при составлении задания на расчет с целью подготовки исходных данных и их рационального внутреннего представления в ЭВМ.

Последнее должно в максимальной степени учитывать общую логику алгоритмов МКЭ, особенности записи матриц разных типов, обеспечивать высокий уровень унификации их структур, максимальную простоту и единообразие работы с ними. Целесообразны такие внутренние представления данных, в которых предусмотрено при выполнении отдельных шагов алгоритма МКЭ с их участием значительное число регулярных повторяющихся вычислений. Такие же характеристики, как наглядность данных, наличие компактных форм записи на бланках, легкость формального контроля не имеют существенного значения. Требования к структуре и содержанию исходных данных во многих отношениях противоречивы. При выборе формы и метода описания кон­струкции следует стремиться к созданию максимального удобства для расчетчика. При этом необходимо интенсивное применение средств ин­терактивной графики, создание "специализированных языковых систем описания конструкций и трансляторов для них, автоматическая генера­ция элементов, оптимальный выбор подструктур и т.д.

В исходной информации, которую подготавливают для расчета кон­кретной конструкции, обычно выделяют несколько групп:

1. Топологические характеристики конструкции, т.е. способ сое­динения ее элементных частей.

2. Геометрические характеристики конструкции - размеры, угловые положения, координаты характерных точек, линий, плоскостей и т.д.

3. Физические характеристики, которые определяют работу физи­ческой системы заданной геометрической формы как конструкции, а так­же предполагаемая модель состояния элементов конструкции (например, плоское или объемное напряженное состояние, та или иная модель плас­тичности и т.д.).

4. Характеристики условий работы конструкции, т.е. условия нагружения конструкции и кинематические условия, определяемые внешни­ми связями этой конструкции.

9.1. Описание геометрии и структура исходных данных.

Наиболее распространенным в инженерной практике способом пред­ставления геометрических характеристик конструкций является анали­тическая модель, т.е. задание точечных подмножеств системой уравне­ний и неравенств относительно координат исходного пространства. Но для сложных конструкций аналитическое представление трудновыполнимо. Кроме того, любой расчетный алгоритм содержит конечное число клас­сов возможных аналитических представлений, и при описании реальной. конструкции зачастую требуется расширение числа таких классов, что приводит к созданию соответствующих дополнительных программ. Значительно большая универсальность и стандартизация достига­ется, при представлении топологических характеристик конструкций геометрическими моделями.

В традиционном процессе конструирования обмен информацией осуществляется на основе эскизных и рабочих чертежей с ис­пользованием нормативно-справочной и технической докумен­тации. В САПР этот обмен реализуется на основе внутримашинного представления объекта.

Под геометрическими моделями понимают модели, содержащие информацию о геометрии изделия, технологическую, функциональ­ную и вспомогательную информацию. Под геометрическим моделированием понимают весь многосту­пенчатый процесс — от вербального описания объекта в соответ­ствии с поставленной задачей до получения внутримашинного представления.

САПР технических объектов, реализующие процесс манипули­рования геометрическими объектами, называются системами гео­метрического моделирования. Основой этого процесса является внутримашинное представление объекта, которое можно получить в результате последовательных отобра­жений моделей объекта с учетом особенностей геометрического моделирования следующим образом:

• графическое представление объекта получается отображе­нием, в котором все геометрические зависимости представлены в виде логической структуры данных. Например, деталь можно определить через элементарные объемы, поверхности, рёбра и точки;

• отображение формально описывается, если это возможно, в аналитическом виде или указываются вычислительные методы для его получения;

• для отображения необходимо определить идентифицирующие и

описательные атрибуты, которые преобразуются в символьную и алгоритмическую форму представления;

• отображение переводится во внутримашинное представление объекта с использованием соответствующих методов преобразо­вания;

• внутримашинное представление объекта предполагает наличие интерфейса, который позволяет манипулировать с данной моделью и интерпретировать ее на основе символьного представления.

В геометрическом моделировании объект можно представить в виде проволочной, полигональной, кинематической и объемной моделей.

Эти модели можно реализовать двумя способами:

в виде информационных массивов (структур данных), которые полностью определяют все элементы геометрического объекта в пространстве;

в виде набора правил, с помощью которых генерируются ха­рактеристики любого элемента геометрического объекта, напри­мер, положение этого элемента в пространстве.

Конструктивными элементами проволочной (каркасной) модели являются ребро и точка. Эта модель проста, но с ее помощью можно пред­ставить в пространстве только ограниченный класс деталей, в ко­торых аппроксимирующие поверхности преимущественно являются плоскостями. Проволочную модель используют для представления двумерных геометрических объектов на плоскости. На основе пространственной проволочной модели можно получать особые графические виды, например проекции. Однако в общем случае получаемые изображения являются неоднозначными. Как правило, с помощью таких моделей сложно автоматиче­ски анализировать процессы удаления невидимых линий и полу­чения различных сечений.