Столярчук В.А. “Системы моделирования”. Материалы к лекциям. Лекция №22

Лекция №39

10. Аналоговое (аппаратурное ) моделирование

Оглавление

10.1 Краткие сведения об АВМ и основных блоках 1

10.2 Моделирование динамических систем. 6

10.2.1. Прямой метод моделирования 6

10.2.2.Метод вспомогательной переменной. 9

10.2.3. Метод последовательного интегрирования 10

10.3 Аналоговое моделирование сигналов и шумов 13

10.4. Моделирование случайных сигналов и помех. 15

10.5 Статистическая обработка результатов моделирования 18

В реальной инженерной практике цифровое моделирование существенным образом потеснило позиции аналоговых вычислительных машин в связи с невысокой точностью и негибкостью структуры последних. Тем не менее аналоговое моделирование обладает рядом привлекательных особенностей.

1. Аналоговое моделирование обладает большой наглядностью своих результатов вследствие чего в настоящее время АВМ из средства моделирования для научных и инженерных исследований превращается в чрезвычайно полезное средство обучения, играющее важную роль в изучении теоретических и прикладных дисциплин в системе подготовки технических кадров.

2. Составление аналоговых структурных схем моделирования представляет собой незаменимый методический прием при анализе структур сложных систем.

3. Аналоговые алгоритмы не учитывают погрешности квантования, вследствие чего они идеально подходят для рассмотрения задач в непрерывной форме.

10.1 Краткие сведения об АВМ и основных блоках

При аналоговом моделировании все переменные, фигурирующие в математических выражениях, представляются физическими величинами напряжениями, токами, механическими перемещениями и т.д. В универсальных АВМ зависимые переменные Y₁, Y₂, … , Y_n представляются изменяющимися во времени напряжениями U₁, U₂, … , U_n, которые называются машинными переменными. Обычно машинная переменная прямо пропорциональна соответствующей физической переменной

U_i=M_yi Y_i (1)

где M_yi – коэффициент пропорциональности, называемый масштабом.

В общем случае возможно применение переменного во времени масштаба

M_yi= M_yi(t) (2)

Наиболее широкое распространение получили электронные АВМ, в которых основой построения решающих элементов служит усилитель постоянного тока (УПТ). или операционный усилитель, охваченный отрицательной обратной связью – операционный блок.

Операционный усилитель – основной элемент большинства операционных блоков – производит усиление электрического напряжения.

Условное обозначение операционного усилителя (ОУ).

Здесь k – коэффициент усиления по напряжению

Операционный усилитель обладает рядом специфических свойств, на которых важнейшими являются:

• очень большой коэффициент усиления по напряжению;

• инвертирование, т.е. входной Uвх и выходной сигналы Uвых его имеют противоположные знаки;

• вход ОУ потенциально заземлен, т.е. напряжение на входе усилителя l_у пренебрежимо мало, мал также и входной ток i_у;

• выходной сигнал ОУ ограничен величиной Em, причем, в интервале [-Em, Em] усилитель имеет линейную характеристику, за пределами этого диапазона в выходной сигнал вносятся нелинейные искажения, поэтому при подготовке задачи к моделированию приходится делать масштабирование зависимых переменных согласно (1) или (2).

Если ОУ охвачен отрицательной обратной связью:

то в силу перечисленных свойств разомкнутого ОУ можно показать, что напряжение на выходе определяется выражением:

, где ; (3)

Z_iвх(Р) - комплексное сопротивление i-ой входной цепи;

Z_ос(Р) - то же для обратной связи.

а) При Z_ос(Р) =R_oc, Z_iвх(Р)=R_i, где R_oc и R_i - активные сопротивления, получим сумматор с коэффициентами передачи

по каждому входу соответственно.

Таким образом, для сумматора U_вых (t)= - .

Условное обозначение сумматора на схемах моделирования.

б) При Z_oc(P)= ; Z_iвх=R_i вместо (3) получим интегросумматор, описываемый соотношением: или

где - коэффициент передачи по i- му входу.

Интегросумматор обозначается следующим образом:

Схема дифференцирования, получаемая при Z_oc(P)=R_oc, Z_вх=

описывается соотношением: U_вых(t)= - R_oc C_вх P U_вх(t)

или U_вых(t)= - R_oc C_вх

и не применяется в силу такого свойства рассматриваемой схемы, как способность “зарезать” низкочастотный полезный сигнал и значительно усиливать помехи, имеющие, как правило, более высокочастотный спектр.

Нелинейные функции одного или нескольких аргументов реализуются с помощью функциональных преобразователей (ФП), в которых широко используются операционные усилители.

Видоизменяя входную цепь и цепь обратной связи, можно осуществить нелинейное преобразование входного сигнала, если в качестве указанных цепей использовать цепочки диодов. Например, приведенной схеме соответствует определенная зависимость Uвых от Uвх.

Кроме того, могут быть использованы специальные функциональные преобразователи - функциторы, реализующие, как правило, лишь одну однозначную функцию своего аргумента. Возможны также универсальные функциональные преобразователи ФП, позволяющие производить подстраиваемую кусочно-линейную аппроксимацию сравнительно гладких нелинейных зависимостей. Для более сложных зависимостей точность подстраиваемых ФП, естественно, ограничена числом “кусков” аппроксимирующей ломаной, причем каждому куску соответствует свой подстраиваемый диод.

Условное обозначение ФП. Блок перемножения.

Процесс подготовки и проведения моделирования на АВМ может быть разделен на несколько этапов:

1. Изучение моделируемой системы и постановка задачи.

2. Разработка математической модели.

3. Выбор метода и средств решения задачи.

4. Разработка структурной схемы моделирования.

5. Разработка коммутационной схемы набора.

6. Набор задачи на АВМ и настройка решающих блоков.

7. Контроль правильности настройки и набора.

8. Проведение контрольных решений.

9. Проведение модельного эксперимента и анализ результатов.

Два первых этапа полностью выполняет исследователь, который изучает моделируемый объект.

Начиная с третьего этапа, к работе привлекается специалист по моделированию на АВМ. Это связано с тем, что необходимо выбрать возможные методы решения задач и технические средства, на которых будет обеспечено решение поставленной задачи в приемлемые сроки.

Четвертым этапом является разработка структурной схемы моделирования. Она составляется в виде соединения решающих блоков и представляет собой модель исследуемой системы. Разработка схемы моделирования, содержащей минимальное количество решающих блоков и обеспечивающей вывод всех исследуемых величин, требует не только знания общих вопросов моделирования, но и определенного опыта работы на АВМ.

На пятом этапе разрабатывается коммутационная схема набора, т.е. схема ориентированная на конкретную АВМ. На этом этапе выбираются масштабы представления независимой и зависимой переменной, реализуются линейные зависимости с помощью типовых нелинейностей и универсальных нелинейных блоков и переменных коэффициентов. На этом этапе по исходной математической модели, структурной схеме моделирования, выбранным масштабам и установленным коэффициентом передачи нелинейных блоков рассчитываются коэффициенты передачи линейных решающих блоков, параметры интеграторов, начальные условия и величины воздействий.

На шестом этапе производится соединение между собой блоков АВМ и внешней аппаратуры в соответствии с коммутационной схемой и установка коэффициентов передачи и начальных условий этих блоков, а также величины входных воздействий.

На седьмом этапе проверяется соответствие выполненных соединений решающих блоков методами статистического и динамического анализа.

АВК-31 быстродействие при решении ряда задач достигает 100 млн. операций в сек. Стоимость на 3-4 порядка меньше ЦВМ.

10.2 Моделирование динамических систем.

При составлении алгоритмов моделирования динамических систем, обеспечивающих передачу и преобразование измерительной информации, можно выделить три задачи:

1) собственно моделирование динамических систем;

2) моделирование возбуждающих воздействий и помех (генерирование - преобразование сигналов);

3) моделирование алгоритмов обработки результатов эксперимента с моделью.

Моделирование линейных динамических систем

Связь входной и выходной координат задается в виде обыкновенного дифференциального уравнения.

(4)

где n  m

10.2.1. Прямой метод моделирования

Прямой метод моделирования применяется для систем, описываемых уравнением (4), но при этом не должно содержаться производных в правой части, т.е. не должно быть производных от входного сигнала (m=0).

Рассмотрим последовательность действий при прямом методе моделирования.

1.Уравнение (4) разрешается относительно старшей производной выходного сигнала и принимает таким образом, вид:

(5)

2. На схеме моделирования составляется цепочка из последовательно соединенных интеграторов, при этом входной сигнал для цепочки обозначается Y⁽ⁿ⁾, и последовательно обозначаются выходные переменные каждого интегратора слева направо (знаки в соответствии со свойствами интегросумматора должны чередоваться).

3. Разрабатывается схема, реализующая правую часть уравнения в форме (5). Выход этой схемы подается на вход первого интегратора цепочки.