Пример 1. Пусть уравнение моделируемой системы имеет вид:

Разрешим его относительно старшей производной

Согласно вышеизложенной методике составим схему.

Эту схему можно упростить, если использовать суммирующие возможности первого интегратора цепочки.

Эта схема является более экономичной, так как содержит меньшее число операционных блоков. Однако она не годится, если в задачу моделирования входила задача исследования второй производной выходного сигнала. В последнем варианте схемы в явном виде не содержится, и более предпочтительным в этом случае остается первый вариант.

Пример 2.

Y^IV(t)+Y(t)=X(t); Y^IV(t)= -Y(t)+X(t)

Если всё-таки составить схему для дифференцирования уравнения (4) с производными от входного сигнала (при ), то получим следующее:

Y^III(t)+aY(t)=X^III(t)+X(t); Y^III(t)= - aY(t) + X^III(t)+X(t)

Из рассмотрения схемы моделирования следует, что здесь необходимо применить три дифференцирующих звена , что приведет к резкому возрастанию помех в схеме и затруднит анализ результатов моделирования. Поэтому для моделирования уравнений, содержащих в правой части производные входного сигнала, следует применять другие методы составления схем. Эти методы и рассмотрим в дальнейшем.

10.2.2.Метод вспомогательной переменной.

Этот метод применяется для систем с постоянными параметрами, содержащими в правой части производные от входного воздействия.

Пусть уравнение моделируемой системы имеет общий вид, записываемый как и ранее:

где

Вводится вспомогательная переменная

(6)

Тогда или: (7) Теперь составляется схема моделирования для соотношений (6) и (7) обычными методами. Уравнение (7) разрешается относительно старшей производной вспомогательной переменной Z⁽ⁿ⁾ и моделируется прямым методом. Затем организуется правая часть уравнения (1) для формирования выходного сигнала Y.

Пример. Уравнение системы имеет вид: Y’’’+2Y’’+3Y’+5Y=X’+2X;

Вводится вспомогательная переменная

Y=Z’+2Z; X=Z’’’+2Z’’+3Z’+5Z

Разрешаем его относительно старшей производной

Z’’’=X-2Z’’-3Z’-5Z и строим схему моделирования

10.2.3. Метод последовательного интегрирования

Используется для систем с постоянными параметрами, дифференциальные уравнения которых содержат производные от входного возмущения. Сущность метода сводится к замене дифференциального уравнения n-го порядка системой дифференциальных уравнений первого порядка относительно системы промежуточных вспомогательных переменных.

Итак, пусть уравнение системы имеет вид:

Перенесем в левую часть члены с X^m(t), X^m-1(t)... и т.д. и объединим в скобках члены с одинаковым порядком производных выходного Y(t) и входного X(t) сигналов:

и проинтегрируем полученное выражение:

(1)

Тогда появится первая вспомогательная переменная Z₁, соответствующая соотношению ;

Проинтегрируем выражение с новой переменной (1)

Вторая вспомогательная переменная также равна;

Повторим процесс интегрирования еще (n-2) раза, вводя вспомогательные переменные Z₃, Z₄, ... , Z_n.

И наконец, последнее уравнение системы примет вид:

Пусть a_n=1, тогда:

Теперь моделирование исходного уравнения сводится к моделированию системы уравнений первого порядка в виде:

............................................

Составление схемы моделирования начинается с образованием цепочки n последовательно соединенных интеграторов, причем вход первого интегратора обозначим Z_n. Затем в соответствии с уравнениями системы организуются дополнительные связи между интеграторами цепочки и последним уравнением моделирующим выходную переменную Y.

Пример 1. Уравнение системы имеет вид: Y’’’+2Y’’+3Y’+5Y=X’+2X

Объединим члены, содержащие одинаковый порядок дифференцирования: Y’’’+2Y’’+(3Y-X)’+(5Y-2X)=0 и проинтегрируем последнее уравнение

Y’’+2Y’+3Y-X+Z₁=0 (2)

Здесь новая переменная .

Проинтегрируем уравнение (2), получим: Y’+2Y+Z₂=0

Тогда и схема моделирования будет такой:

Пример 2

;

(Y-eX)’’+(aY-dX)’+(bY-cX)=0; (Y-eX)’+aY-dX+Z₁=0 ; Y-eX+Z₂=0

При решении методом вспомогательной переменной

10.3 Аналоговое моделирование сигналов и шумов

1. Моделирование неслучайных функций времени.

Моделирование неслучайных функций времени сводится к построению таких схем, выходом которых является заданная функция. Для анализа динамических характеристик сложных систем наибольшее распространение получили так называемые типовые возмущающие воздействия, к которым относятся:

- функция Дирака, представляющая собой импульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой протяженности;

синусоидальное гармоническое воздействие и т.д.

Функция единичного скачка моделируется без затруднений в момент включения на входе исследуемой схемы источника постоянного напряжения.

Дельта-функция Дирака практически не может быть выходом ни одной реальной схемы, однако в схемах моделирования удается получить реакцию системы на  - функцию, если функцию единичного скачка подать не на вход схемы моделирования, а после первого интегратора, что соответствует такому случаю, как если бы на вход этого первого интегратора подавалась производная от функции единичного скачка, т.е.  - функция. Таким образом, на схемах моделирования можно наблюдать реакцию на функцию единичного ступенчатого воздействия - переходную функцию или переходный процесс, а также реакцию на  - функцию импульсную переходную функцию.

При моделировании дифференцируемых функций времени иногда можно рассматривать требуемую зависимость как результат решения некоторого дифференциального уравнения. Такое уравнение называется определяющим дифференциальным уравнением.

Определяющее дифференциальное уравнение получается следующим образом. Пусть функция задана в виде аналитического выражения Y=f(t),

которое допускает многократное дифференцирование по независимой переменной t. Функцию f(t) последовательно дифференцируют и выявляют закономерности в выражениях для производных различных порядков. Эти закономерности позволяют построить определяющее уравнение.

Пример 1. Требуется воспроизвести экспоненциальный сигнал Y=ke^-t

Производная этого сигнала равна Y’=-ke^-t

Из сравнения этих двух выражений Y’=-Y

Это и есть определяющее выражение согласно которому строим схему

Пример 2. Моделирование гармонического синусоидального сигнала

Y=Sin t;

Продифференцируем : Y’=Cos t: Y’’=-Sin t

Отсюда определяющее уравнение: Y’= -Y

Пример 3. Моделирование степенного ряда

Для получения такой суммы удобно применить цепочку интеграторов с последующим суммированием результатов

Примечание: Для моделирования неслучайных функций времени возможно также применение нелинейных функциональных преобразователей ФП.

10.4. Моделирование случайных сигналов и помех.

При моделировании случайных сигналов на АВМ применяются специальные источники случайных сигналов физической природы, в которых используются реальные источники шумов - шумы элементов радиоэлектроники. От этих специальных шумовых генераторов получают стандартный случайный процесс с заданными статистическими характеристиками. Это “белый” шум с нормальным или равномерным распределением вероятностей, нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Моделирование случайного процесса с заданными статистическими характеристиками осуществляется организацией схемы преобразования исходного получаемого от генератора случайных сигналов: “белого” шума. Эта схема должна состоять из двух частей: нелинейного безынерционного преобразователя и линейного формирующего фильтра. Нелинейный безинерционный преобразователь служит для формирования случайного процесса с заданным законом распределения из шума с равномерным законом распределения на основании точного или приближенного решения уравнения:

(1)

где Х - формируемый случайный процесс;

- плотность вероятности формируемого случайного процесса;

 - случайная величина с равномерным законом распределения в диапазоне от 0 до 1

Разрешая уравнение относительно Х, получим требуемый закон преобразования для нелинейного безинерционного преобразователя.

1

Пример 1. Требуется получить закон распределения вида