Столярчук В.А. “Системы моделирования”. Материалы к лекциям. Лекция №19

Лекция № 19

9. Статистическое моделирование

Оглавление

9.1 Метод наихудшего случая 3

9.2 Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) 5

9.2.1. Сущность метода статистических испытаний 7

9.2.2. Алгоритм метода Монте -Карло 12

9.2.3.Обработка результатов статистического анализа 14

9.3. Моделирование методом Монте-Карло задач вычисление интегралов 14

9.3.1. Способ усреднения подынтегральной функции. 14

9.3.2.Способ существенной выборки, использующий «вспомогательную плотность распределения». 17

9.3.3. Способ «выделения главной части». 18

9.3.4. Способ, основанный на истолковании интеграла как площади. 19

9.3.5. Вторая модификация метода Монте-Карло для вычисления интегралов. 26

9.3.6. Третья модификация метода Монте-Карло для вычисления интегралов. 28

9.3.7. Кратные интегралы 30

9.3.8. Требуемое количество операций 32

Рассмотренные ранее методы моделирования подразумевали одновариантный анализ, в процессе которого находились выходные параметры или функционалы, экстремальные значения некоторых выходных параметров, их значения в заданный момент времени и т.п.

Сложнее вычисляются пороговые выходные параметры (предельная нагрузка на несущую конструкцию, максимальная температура или минимальная толщина элемента, при которой объект функционирует правильно, и др.). Для их вычисления часто выполняют одновариантный анализ многократно, последовательно приближаясь к искомому порогу.

Задача расчета выходных параметров есть, по сути, задача анализа работы объекта. При решении этой задачи к исходным данным относят векторы внутренних и внешних X параметров. Результатом решения является вектор выходных параметров Y.

Выбор точки в пространстве параметров зависит от целей, которые ставит инженер перед собой на данном этапе и от алгоритмов проектирования. Если будут выбраны номинальные значения внутренних q_ном и внешних X_ном параметров, то естественно рассчитанный при этом вектор выходных параметров также считать номинальным. При производстве изделий и в процессе их эксплуатации имеются неизбежные отклонения от номинальных значений у параметров X, q и, как следствие, несовпадение значений выходных параметров Y с Y_ном.

Поэтому удовлетворительный результат расчета при учете только номинальных условий еще не означает успеха в проектировании.

Окончательному суждению о качестве проекта должно предшествовать выполнение статистического анализа, при котором получаются сведения о рассеянии выходных параметров относительно номинальных значений.

Статистический анализ относится к многовариантным видам анализа, так как обычно требует многократного выполнения расчета выходных параметров. Поэтому первая трудность в реализации статистического анализа заключается в больших затратах машинного времени.

Вторая трудность связана с необходимостью использования в качестве исходных данных информации о разбросе внутренних параметров q. Получение такой информации часто сопряжено с большими затратами времени и средств и не всегда может быть выполнено в требуемом объеме. Эти затруднения заставляют обращаться к процедурам статистического анализа преимущественно на заключительных итерациях разработки изделия. Анализ всех первоначальных вариантов структуры, оптимизацию объектов вдали от экстремальных точек целесообразно производить без учета статистических свойств параметров.

Статистический анализ рекомендуется применять только в отношении того варианта проекта, который после детерминированной оптимизации оказался наилучшим в смысле выполнения технического задания. Но статистическое моделирование находит широчайшее применение и в тех случаях, когда точный эксперимент в области сложных систем не всегда возможен. Например, при оценке общих характеристик системы противовоздушной обороны противника, операций флотилии пассажирских кораблей, звена истребителей в процессе воздушного боя и т.д.

Кроме того, статистическое моделирование находит применение при анализе и оценке технических, электронных, механических и электронно-механических систем на этапах их предварительного проектирования, при испытании функционирующих систем с целью, например, расширения их области применения и т.д.

9.1 Метод наихудшего случая

Простейшим методом определения разброса параметров является метод наихудшего случая. Получаемые с его помощью оценки рассеяния выходных параметров сильно завышены.

Метод наихудшего случая применим, если известны предельно возможные отклонения х_{i пред}. и q_{к пред} внешних и внутренних параметров х_i и q_к от своих номинальных значений

х_{i ном}. и q_{к ном}. Знание законов распределения случайных величин q_i или числовых характеристик этих законов здесь не требуется, что является положительной стороной метода. Действительно, в паспортных данных или в справочниках для многих комплектующих изделий указываются именно значения q_{i пред}, и поэтому применить в данном случае метод наихудшего случая значительно проще, чем вероятностные методы. Целью применения метода наихудшего случая является определение вектора

Y_нс =(y_1нс, y_2нс ,....y_mнс) ,

элементы которого y_jнс - наихудшие среди возможных значения выходных параметров, т.е. наименее благоприятные с точки зрения выполнения требований технического задания.

Рассмотрим сущность метода применительно к определению одного выходного параметра y*.

В алгоритм метода, во-первых, должно входить выполнение анализа работы объекта в наихудшем случае - при наихудших значениях X_нс и q_нс параметров X и q, что даст значение y*_нс; во-вторых, в алгоритмах должна быть процедура определения направлений отклонения параметров X и q от номинальных значений на величины X_пред и q_пред, что даст исходные данные X_нс и q_нс для упомянутого анализа работы объекта в наихудшем случае. Эта процедура сводится к выполнению анализа чувствительности выходного параметра y* к изменению внутренних и внешних параметров. Получаемый вектор чувствительности А включает коэффициенты влияния

А_i=y*/x_i; А_к=y*/q_к

Собственно в методе наихудшего случая используются только знаки коэффициентов влияния sign(A_i) и sign(A_к).

В случае, если условие работоспособности имеет вид y* >TT, где ТТ - максимальное значение выходного параметра по ТЗ (техническому заданию), то значения x_iнс определяются по формуле:

x_{i нс}=x_{i ном}-sign(A_i) x_{i пред}.

Если y* < TT, то

x_{i нс}=x_{i ном} + sign(A_i) x_{i пред}.

Аналогично вычисляются q_{к нс}.

В реальных объектах имеется m выходных параметров, и при анализе чувствительности для них будет определена матрица чувствительности А с элементами А_jк=y_j/q_к и А_ji=y_j/X_i. Метод наихудшего случая широко использовали в немашинных методиках проектирования. В САПР этот метод в значительной мере уступил позицию вероятностным методам вследствие следующих своих недостатков.

1. Вероятность возникновения наихудшего случая в реальных условиях крайне мала, из-за этого оценки разброса выходных параметров по этому методу получаются в несколько раз большими, чем, например, по более точным вероятностным методам. Поэтому реализация рекомендаций, вытекающих из расчетов на наихудший случай, приводит к повышению стоимости, габаритам, массам изделий. Многие работоспособные варианты представляются неработоспособными по результатам расчета на наихудший случай.

2. Предельные отклонения q_{i пред}. известны только на некоторые внутренние параметры, контролируемые заводами-изготовителями комплектующих изделий. Отсутствие сведений о q_{i пред}. для части внутренних параметров лишает метод его преимущества - простоты получения исходных данных.

Перечисленные недостатки имеют место только в отношении наихудших случаев по внутренним параметрам q, что же касается внешних параметров Х, то оценка разброса выходных параметров, происходящего из-за непостоянства внешних параметров, должна производиться именно по методу наихудшего случая. Предельные отклонения (x_{к пред}.) обязательно указываются в ТЗ на проектирование.

9.2 Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)

Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений.

Возникновение идеи использования случайных явлений в области приближённых вычислений принято относить к 1878 году, когда появилась работа Холла об определении числа  с помощью случайных бросаний иглы на разграфлённую параллельными линиями бумагу. Существо дела заключается в том, чтобы экспериментально воспроизвести событие, вероятность которого выражается через число , и приближённо оценить эту вероятность. Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались мало пригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач статистической физики, очень разных по своему содержанию.

Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие методов вычислительной математики (например, развитие методов численного интегрирования) и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественностью получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.

Исходной информацией для статистического анализа по методу Монте-Карло являются числовые характеристики законов распределения внутренних параметров q и допустимые диапазоны изменения внешних параметров X.

Результат расчета - числовые характеристики законов распределения выходных параметров Y.

В подавляющем большинстве случаев проектирования в технике инженеры не имеют в своем распоряжении официально рекомендованных к использованию справочных материалов, в которых бы указывались законы распределения с конкретными значениями числовых характеристик для каждого параметра используемых элементов. Отсутствие исходной статистической информации о параметрах q обусловлено рядом причин.

Первая причина связана с большой трудоемкостью экспериментального измерения и статистической обработки результатов измерений для большого числа изделий.

Вторая причина заключается в нестабильности числовых характеристик законов распределения во времени, так как рассеяние параметров возникает из-за нестабильности параметров технологического процесса и непостоянства параметров исходных материалов для изготовления изделий. Причем при переходе от изготовления одной партии деталей к другой, эти параметры претерпевают заметно большие изменения, чем при переходе от изготовления одного экземпляра к изготовлению другого в пределах одной партии. Поэтому статистические сведения, которые можно получить на одной партии изделий и включить в справочники, окажутся некорректными для большинства других партий однотипных деталей. В этих условиях возникает вопрос о принципиальной возможности выполнения статистического анализа вероятностными методами. Несмотря на высказанные трудности, следует считать, что выполнение статистического анализа в целом ряде случаев возможно и целесообразно. (Это, например, прежде всего случаи проектирования изделий для крупносерийного и массового производства, изделий, к надежности которых предъявляются повышенные требования и т.п.). Можно указать два пути получения исходной информации для статистического анализа вероятностными методами.

Первый путь относится к тем областям техники, где типы и марки комплектующих изделий, из которых составляются проектируемые объекты, мало изменяются в течение продолжительного времени. Тогда инженерная практика позволяет накапливать и обобщать сведения о разбросе параметров таких изделий, в связи с чем опытный инженер способен делать в большинстве случаев оправдывающий прогноз относительно вида закона распределения и относительно численных значений дисперсии параметров. Хотя количественно оценить погрешности статистического анализа в этой ситуации невозможно, статистический анализ дает полезную для проектирования информацию.