6Simulation systems Лекция 19 Монте-Карло (Материалы к лекциям), страница 4

.

Заметим, что точное значение I=1,147.

9.3.4. Способ, основанный на истолковании интеграла как площади.

Пусть подынтегральная функция неотрицательна и ограничена: , а двумерная случайная величина распределена равномерно в прямоугольнике D с основанием и высотой . Тогда двумерная плотность вероятности для точек, принадлежащих D; вне D.

В качестве оценки интеграла принимают , где n – общее число случайных точек , принадлежащих D; - число случайных точек, которые расположены под кривой .

Задача. Найти оценку интеграла .

Решение. Используем формулу .

В интервале (0,2) подынтегральная функция неотрицательна и ограничена, причём ; следовательно, можно принять c=4.

Введём в рассмотрение двумерную случайную величину (X,Y), распределённую равномерно в прямоугольнике D с основанием и высотой с=4, плотность вероятности которой .

Разыгрываем n=10 случайных точек , принадлежащих прямоугольнику D. Учитывая, что составляющая X в интервале (0,2) распределена равномерно с плотностью и составляющая Y в интервале (0,4) распределена равномерно с плотностью , разыграем координаты случайной точки , принадлежащей прямоугольнику D, по паре независимых случайных чисел : , .Отсюда , .

Номер i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0,100 0,253 0,520 0,863 0,354 0,809 0,911 0,542 0,056 0,474	0,200 0,506 1,040 1,726 0,708 1,618 1,822 1,084 0,112 0,948	0,040 0,256 1,082 2,979 0,501 2,618 3,320 1,175 0,013 0,899	3,960 3,744 2,918 1,021 3,499 1,382 0,680 2,825 3,987 3,101	0,973 0,376 ,135 0,467 0,876 0,590 0,737 0,048 0,489 0,296	3,892 1,504 0,540 1,868 3,504 2,360 2,948 0,192 1,956 1,184	1 1 1 1 1 1

Если окажется, что , то точка лежит под кривой и в «счётчик » надо добавить единицу.

Результаты десяти испытаний приведены в таблице 3.

Из таблицы 3 находим . Искомая оценка интеграла

В качестве первого примера рассмотрим вычисление площади некоторой фигуры произвольной формы. Остановимся сначала на частном случае решения этой задачи.

Пусть требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной отрезками 0А и 01 на осях прямоугольных координат 0x и 0y, кривой y=f(x) и ординатой 1B (искомая площадь заштрихована), причем будем считать выполненным условием 0  f(x)  1 для всех х [0,1].

Пользуясь обычными численными методами для приближенного вычисления искомой площади обычно разбивают отрезок (0,1) на оси x на n равных частей длиной х=1/n. Искомую площадь представляют в виде суммы площадей n элементарных фигур, площадь каждой из них приближенно заменяя площадью, например, соответствующего прямоугольника.

Si=х  f(x_i), где х_i - некоторая точка на оси 0x внутри i-го интервала и т.д.

Отметим, что такой способ определения площади требует вычисления значений функции f(x) в n точках.

Посмотрим теперь, как решается эта же задача методом Монте-Карло. Пусть мы имеем случайную величину , равномерно распределенную на отрезке [0,1].Это значит, что вероятность попадания ее возможных значений _i в интервал пропорциональна длине интервала и не зависит от местоположения его на отрезке. [0,1].

Если возможные значения _i равномерно распределенной случайной величины  заполняют отрезок [0,1] на оси 0x и возможные значения _i случайной величины  заполняют тот же отрезок на оси 0y, то пары чисел (_i , _i ) определяют случайную точку (x_i,y_i) на плоскости x0y, имеющую равномерное распределение в квадрате (0,0), (0,1), (1,1), (1,0), который в дальнейшем будем называть единичным квадратом. Это значит, что вероятность попадания (x_i,y_i) в некоторую область  пропорциональна площади этой области и не зависит от расположения ее внутри единичного квадрата.

1

A

Проведем мысленный эксперимент: внутрь единичного квадрата случайным образом с равномерным распределением бросается точка. Это эквивалентно выборке пары чисел x_i и y_i, являющихся возможными значениями величин  и  соответственно. После N таких испытаний (где N достаточно велико) на плоскости появится N случайно расположенных точек, равномерно распределенных в единичном квадрате. Предположим, что количество точек под кривой y=f(x) равно m, а над кривой N-m. (Точки, попадающие точно на кривую, будем считать находящимися под кривой). Если следовать геометрическим соображениям, ясно, что вероятность Р попадания точки в часть квадрата, находящуюся под кривой y=f(x), равна отношению площади S этой части квадрата к площади всего квадрата. Частота попадания точки в часть квадрата под кривой y=f(x) при достаточно большом N близка к вероятности Р. Отсюда следует, что в качестве приближенного значения искомой площади можно взять частоту , т.е. S 

Для решения рассмотренного примера на ЭВМ нет необходимости в воспроизведении всех указанных выше действий. Сущность метода для данного случая состоит в моделировании эксперимента при помощи случайных чисел.

Процедура решения выглядит следующим образом:

1. Выбирается случайное число _i на отрезке [0,1] с равномерным законом распределения (из таблиц случайных чисел или вырабатывается самой машиной с помощью датчика случайных чисел); это случайное число принимается в качестве координаты случайной точки x_j на оси 0x.

2. Вычисляется значение рассматриваемой функции f(x_j) в точке x_j.

3.Вырабатывается следующее случайное число _i+1, принимаемое в качестве координаты точки y_j на оси 0y; таким образом x_i = i; y_j = _i+1 определяют случайную точку на плоскости внутри единичного квадрата.

4. Количество выработанных таким образом случайных точек (пар случайных чисел) подсчитывается специальным счетчиком, который будем называть счетчиком количества испытаний.

5. Значение функции f(x_j) сравнивается со случайным числом _i+1. Если неравенство _i+1 f(x_j) выполнено, что соответствует попаданию случайной точки (x_j,y_j) в часть квадрата под кривой y=f(x) , то результату сравнения присваивается специальный признак =1, если не выполнено =0.

6. Полученные значения признака  прибавляются к содержимому счетчика количества точек под кривой (m).

7. После проведения N таких экспериментов определяется приближенное значение площади под кривой S  .

Рассмотренная процедура не требует запоминания случайных чисел, полученных в результате эксперимента. Запоминаются только значения m и N. Это немаловажное обстоятельство вообще характерно для реализации метода статистических испытаний на ЭВМ. Точность решения задачи этим методом растет с увеличением количества испытаний N и при достаточно больших N становится приемлемой с практической точки зрения.

Приведем ещё один результат подсчета простейшего интеграла методом Монте-Карло с помощью таблиц равномерно распределенных случайных чисел.

Из таблицы было выбрано 80 точек. Из них 41 оказалась под графиком

I=41/80=0,5125