6CAD-CAE-20 Триангуляция (Материалы к лекциям), страница 5

Предположим, что мы имеем сетку на области с площадью с минимальной и максимальной площадями конечных элементов.

Тогда функцию плотности можно осреднённо принять постоянной и равной , подсчитать - условную меру однородности (по площади) КЭ оптимальной сетки, - условную меру однородности (условную площадь) i - го КЭ реальной сетки и отклонение от оптимума размеров i - го КЭ.

Величину W, характеризующей качество СКЭ, можно подсчитать как сумму абсолютных отклонений от оптимума . Меньшее его значение говорит о более высоком качестве сетки.

2. Более точное «восстановление» функции плотности по уже построенной сетке можно проводить по разным методикам, например, по формуле , где площадь i-го элемента, - коэффициент масштабирования значений для большего удобства применения. Или , где средняя площадь конечного элемента, подсчитываемая по формуле , - коэффициент масштабирования.

Используют также формулу . В этом случае значения функция плотности не превышают 1.0 , при этом, большему её значению соответствует большая плотность КЭ.

Имея такую функцию плотности можно значительно точнее оценить качество разных вариантов сеток по критерию или по критерию Q.

Но, повторяем, формулы штрафов, использующих функции плотности, зависят от смысла и вида используемой функции плотности.

9.5. Задача генерации оптимальной сетки конечных элементов

Оптимальность алгоритмов генерации оценивают, исходя из качества сгенерированных сеток при:

а) известной (заданной эмпирически или найденной в результате анализа предварительного решения краевой задачи) функции плотности конечных элементов F;

б) ограничениях, накладываемых на топологическую модель (тип КЭ, требования плотного заполнения расчетной области множеством непересекающихся элементов, степень дискретизации);

в) заданных функциях штрафов.

В настоящее время теория и практика МКЭ не позволяют получить строгую оценку величин, входящих в Q.

Вместе с тем для предварительного анализа качества алгоритмов генерации СКЭ можно воспользоваться рядом очевидных свойств функции штрафов, либо применять асимптотические оценки для определения характеристик оптимальности сеток.

Определим задачу оптимальной генерации СКЭ как задачу нахождения минимума: Q  min при выполнении сформулированных ранее пунктов а, б, в.

Особенностью этой оптимизационной задачи является то, что функция Q не имеет непрерывной области существования, а определена в бесконечном множестве J топологических моделей СКЭ, При этом для каждой топологической модели Q_J имеет, по крайней мере, один локальный минимум, являясь функцией координат узлов СКЭ.

Таким образом, целью является нахождение : Q_и = (minQ_J)

где l - число возможных топологических моделей СКЭ.

Нахождение наилучшего расположения узлов сетки, отвечающего условию min Q_J для заданной топологической модели можно осуществить, используя итерационные методы нелинейного программирования. Нахождение min Q_J в общем случае возможно, если начальное расположение узлов СКЭ достаточно близко от min Q_J , т.е. даже полный перебор допустимых топологических моделей СКЭ не гарантирует нахождения минимума.

При выработке стратегии построения квазиоптимальных сеток следует ориентироваться на двухэтапные алгоритмы. Первый этап состоит в непосредственном построении СКЭ с конкретной топологией и расположением узлов, близким к оптимальному, второй - в итерационной оптимизации расположения узлов сетки при фиксированной топологии ее связей.

Топологическая модель СКЭ может быть принята заранее. В этом случае исходными параметрами генерируемой сетки являются фиксированное число узлов К₁, элементов N₁ и тип элементов.

Формирование сетки производится за известное число шагов.

При заданных  и R_min топологическая модель СКЭ заранее неизвестна (формируется в процессе генерации). Построение квазиоптимальной в соответствии Q  min сетки может быть также интерпретировано как решение задачи минимизации убытка в многошаговом процессе распределения ресурсов с правилами остановки по исчерпании ресурса.

9.6. Основные алгоритмы и методы формирования сетки конечных элементов

Многочисленные методы построения разбиений для дву- и трехмерных областей с геометрической точки зрения подразделяются на три основных класса :

1- построение разбиения, осуществляемого преобразованием отображения разбиения области с геометрически простой формой;

2-построение разбиения, осуществляемое преобразованием уже существующего разбиения;

3- прямое, элемент за элементом, построение разбиения, начиная с задания распределения точек в области или на ее границе.

Из-за ряда ограничений разделить область на элементы, пользуясь только каким-то одним способом, можно только в исключительных случаях, поскольку метод построения разбиения должен:

а) давать возможность обрабатывать сложные геометрические конфигурации;

б) минимизировать выполняемую работу и ограничивать максимальное число требуемых данных;

в) обеспечивать надежность результатов;

г) наилучшим образом использовать возможности применяемых алгоритмов, которые в разной степени приспособлены к рассматриваемым геометрическим условиям ;

д) давать результат, пригодный для дальнейшего использования и содержащий всю необходимую информацию в форме, обеспечивающей быстрый и удобный доступ к ней.

Для построения разбиения чаще всего применяются следующие методы ( Жермен-Лакур П., Жорж П. Л., Пистр Ф., Безье П. и др. Математика и САПР. В 2-х кн. Кн. 2. - М.: Мир, 1989. 264 с) :

• построение разбиения “вручную” с представлением всей необходимой информации в виде структуры данных;

• построение покрытия области делением нескольких крупных элементов на более мелкие;

• построение покрытия области элементами, начиная с задания распределения точек на ее границе;

• построение покрытия области на основе облака точек, распределенных внутри области;

• построение разбиения с помощью геометрического (симметрия,

локальное или глобальное деление, т.д.) и/или топологического преобразования уже существующего разбиения;

• построение трехмерного разбиения с помощью такой обработки

двухмерного разбиения, которое позволяет получать трехмерные элементы из двухмерных.

Качество получаемого разбиения оценивается визуально или определением площадей элементов (площадь вычисляется как векторное произведение): если хотя бы одна из площадей отрицательна, то разбиение выполнено неправильно. Визуальный осмотр полезен и в тех случаях, когда отрицательных площадей нет.

В большинстве случаев с помощью тел, называемых аналитическими, нельзя описать реальные механические объекты. На протяжении долгого времени выход из этого положения состоял в представлении объекта с помощью произвольно проведенных линий, взаимное сопряжение которых осуществлялось специалистами очень высокой квалификации: модельщиками, литейщиками, изготовителями штампов. Для классификации подобных зависимостей трудно было подобрать подходящие определения. Использовались такие выражения, как поверхности двойной кривизны, поверхности переменной кривизны, искривленные поверхности.

На самом деле единственным общим свойством всех этих зависимостей является полное отсутствие какого бы то ни было предварительного математического определения, даже частичного, в результате чего решение задачи начиналось с выполнения последовательных шагов аппроксимации и заканчивалось вручную, каждый шаг подгонки основывался на результатах экспериментов или просто на указаниях дизайнера. Из-за недостатка информации такие зависимости иногда назывались “ экспериментальными ”.

Для обработки информации на ЭВМ должна быть сформирована математическая модель поверхности изделия. Это сравнительно нетрудно сделать, когда сложная поверхность может быть разбита на элементы, каждый из которых представляет конус, сферу или участок плоскости, ограниченный отрезками прямых или дугами конических сечений. В тех случаях, когда поверхности не образуются простейшими элементами, как, например, в авиастроении, приходится искать иное решение.

Метод изопараметрических координат

Разработан Эдгебергом, Зенкевичем и Филлипсом. В 1969 г. впервые были разработаны универсальные программы - генераторы СКЭ, В настоящее время продолжаются исследования по усовершенствованию методов изопараметрическох координат и их программной реализации.

Методы изопараметрических координат предполагает представление расчетной области в виде совокупностей подобластей, каждой из которых ставится в соответствие изопараметрический квадратичный элемент. Таким образом, локальные координаты  и  преобразуются в глобальные x и y.

В изопараметрической системе координат применяется неравномерное разбиение по  и (или)  . Это дает возможность производить сгущение узлов сетки в заданной части исходной области.

Заметим, что слишком большие смещения промежуточных узлов могут привести к выталкиванию таких узлов за пределы границы области. В литературе дана оценка допустимых положений промежуточных узлов.

где B - расстояние от промежуточного узла до углового;

l - длина стороны подобласти;

n - число разбиений по данной локальной координате.

В случае, когда исходная область представляется объединением подобластей, необходимо осуществлять согласование узлов подобластей на сопрягаемых границах, где распределение узлов должно быть одинаково.

Существует несколько методов сшивания подобластей.

Полный текст программ сеточных генераторов на основе метода изопараметрических координат описан, например, в книге: Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов М. Мир, 1979.

В некоторых программных реализациях алгоритмов построения СКЭ на основе схемы изопараметрических координат прямая и обратная трансформации области не предусмотрены. При этом для разбиения области используются задаваемые шаблоны.

Имеются программы, позволяющие осуществить различное число разбиений на двух противоположных сторонах расчетной области. В этом случае в пределах одного слоя КЭ допускается уменьшение (увеличение) числа узлов на противоположных сторонах.

Отдельные алгоритмы содержат возможность распределения узлов по локальным координатам. Например, координаты узлов СКЭ определяются формулой:

(x,y)=f₁ (S)g ₁(t)(x₁ ,y₁ )+f₁ (S)g₂ (t)(x₂ ,y₂ )+

+ f₂ (S)g₂ (t)(x₃ ,y₃ )+f₂ (S)g₁ (t)(x₄ ,y₄ ) ,

где S= - 1+2 ( i-1)(n_r - 1); f= - 1 +2 ( j -1)/(n_c-1)

i - номер строки шаблона СКЭ; n_r - общее число строк шаблона;

j - номер столбца шаблона СКЭ; n_c - общее число столбцов шаблона;