35

Лекция 20

9. Формирование исходных данных

Оглавление

9. Формирование исходных данных 1

9.1. Структура исходных данных для МКЭ и МСЭ 1

9.2. Способы представления геометрических объект. 3

9.3. Дискретизация области и сеточные генераторы 8

9.4. Оценка качества сетки конечных элементов 11

9.5. Задача генерации оптимальной сетки конечных элементов 19

9.6.Основные алгоритмы и методы формирования сетки конечных элементов 21

9.7. Оптимизация сетки конечных элементов 32

Первым шагом любого практического расчета является описа­ние исходной конструкции. Оно может иметь разные формы в зави­симости от избранного способа внутреннего представления данных в вычислительной системе при расчетах по МКЭ, а также в зависимости от исполь­зуемых технических средств автоматического приведения исходных данных различного типа к этому внутреннему пред­ставлению.

Например, начальный этап решения задачи методом конечных элементов состоит в дискретизации рассматриваемой области на треугольники, четырехугольники, четырехгранники и т.д. Такое разбиение несет геометрическую информацию о покрытии области элементами, с каждым из которых связано определенное число численных значений, необходимых для последующих вычислений (построение матриц, блокирование некоторых степеней свободы, решение систем, визуальное представление и т.д.). Эту информацию удобно определять как структуру данных, содержащую в сжатой и доступной форме все величины (геометрические и числовые).

Таким образом, при разработке системы алгоритмов реализа­ции МКЭ должны быть раздельно обсуждены вопросы внешнего описания конструкций при составлении задания на расчет с целью подготовки исходных данных и их рационального внутреннего представления в ЭВМ.

Последнее должно в максимальной степени учитывать общую логику алгоритмов МКЭ, особенности записи матриц разных типов, обеспечивать высокий уровень унификации их структур, максимальную простоту и единообразие работы с ними. Целесообразны такие внутренние представления данных, в которых предусмотрено при выполнении отдельных шагов алгоритма МКЭ с их участием значительное число регулярных повторяющихся вычислений. Такие же характеристики, как наглядность данных, наличие компактных форм записи на бланках, легкость формального контроля не имеют существенного значения. Требования к структуре и содержанию исходных данных во многих отношениях противоречивы. При выборе формы и метода описания кон­струкции следует стремиться к созданию максимального удобства для расчетчика. При этом необходимо интенсивное применение средств ин­терактивной графики, создание "специализированных языковых систем описания конструкций и трансляторов для них, автоматическая генера­ция элементов, оптимальный выбор подструктур и т.д.

9.1. Структура исходных данных для МКЭ и МСЭ

В исходной информации, которую подготавливают для расчета кон­кретной конструкции, обычно выделяют несколько групп:

1. Топологические характеристики конструкции, т.е. способ сое­динения ее элементных частей.

2. Геометрические характеристики конструкции - размеры, угловые положения, координаты характерных точек, линий, плоскостей и т.д.

3. Физические характеристики, которые определяют работу физи­ческой системы заданной геометрической формы как конструкции, а так­же предполагаемая модель состояния элементов конструкции (например, плоское или объемное напряженное состояние, та или иная модель плас­тичности и т.д.).

4. Характеристики условий работы конструкции, т.е. условия нагружения конструкции и кинематические условия, определяемые внешни­ми связями этой конструкции.

Очевидно, что по сравнению с МКЭ задача задании исходных данных в для МСЭ значительно усложняется.

Исходные данные для каждого шага при расчетах по МСЭ включают в себя набор моделей типовых подструктур M^α,β, набор массивов опи­сания топологии C^α,β и набор моделей граничных условий G^α,β для всех или некоторых gодструктур. (Индексы α и β означают номер уровня и номер подструктуры в иерархии подструктур.).

Моделью типо­вой подструктуры M^α,β является массив данных с именем, определяе­мым системой идентификации и указывающим на тип модели и место со­ответствующей подструктуры в общей иерархии.

В массив данных M^α,β входят следующие составляющие:

1) вектор основных параметров подструктуры . Вектор вклю­чает число внутренних и граничных узлов и узловых неизвестных, ши­рину ленты матрицы жесткости, количество векторов силовых гранич­ных условий для подструктуры, имена массивов задания топологии C^α,β и граничных условий G^α,β , с помощью которых образована данная мо­дель M^α,β, и другие параметры;

2) матрица типов узлов [Т]. Представляет собой булеву матри­цу, задающую для каждого из узлов подструктуры число и тип неизвест­ных. С помощью матрицы [Т] автоматически нумеруются узловые неиз­вестные подструктуры;

3) матрица граничных жесткостей подструктуры [K_s] , т.е. мат­рица жесткости суперэлемента;

4) матрица связи внутренних и граничных перемещений подструк­туры [K_i] (необходима для определения перемещений внутренних ис­ключаемых узлов по известным граничным перемещениям подструктуры при обратном ходе алгоритма (распространение решения о верхнего уровня на нижние).

Таким образом, все многообразие алгебраических моделей супер­элементов и подструктур сводится к единственной структуре массива M^α,β= .

Все топологические модели также сводятся к массивам унифициро­ванной структуры C^α,β. Каждый массив C^α,β задает способ образова­ния одной подструктуры, т.е. массива M^α,β. В массив C^α,β входят четыре элемента:

1) вектор основных параметров модели топологии . Этот век­тор определяет количество суперэлементов в каждой подструктуре, чис­ло узлов в ней, количество вариантов правых частей уравнений, описывающих ее, и т.д.;

2) вектор идентификаторов суперэлементов , входящих в каждую подструктуру;

3) матрица связи узлов [S], указывающая способ соединения суперэлементов предыдущего уровня в подструктуру следующего;

4) матрица связи нагрузки [L] , задающая соответствие номе­ров правых частей (силовых граничных условий) уравнений суперэлемен­тов предыдущего уровня и подструктуры следующего, т.е. формирующая силовые граничные условия для результирующей подструктуры.

_{Таким образом,} C^α,β= .

Моделью граничных условий G^α,β также является массив данных. В большинстве случаев достаточно предусмотреть задание фиксирован­ных перемещений в узловых точках конструкции в качестве кинемати­ческих граничных условий и задание дополнительных нагрузок в виде сосредоточенных сил, приложенных в узловых точках, в качестве сило­вых граничных условий.

Для таких случаев G^α,β будет содержать че­тыре компоненты:

1) вектор параметров модели ;

2) матрицу [F] дополнительных нагрузок уровня α;

3) вектор исключаемых узлов ;

4) вектор фиксированных перемещений .

Таким образом, G^α,β=

Данных, содержащихся в наборе массивов M^α,β , C^α,β., G^α,β, до­статочно для однозначного задания иерархии подструктур. Это задание осуществляется следующим образом.

Из вектора параметров подструктуры верхнего уровня M^α,1 выбирается идентификатор матрицы связи узлов нагрузок этого уровня C^α,1.

Содержащийся в массиве C^α,1 список идентификаторов N супер­элементов предыдущего уровня позволяет отыскать все массивы M^α-1,β и таким образом осуществить переход на один уровень ниже. Повторяя описанную процедуру для каждого уровня, можно получить набор иден­тификаторов M^1,w базисных конечных элементов.

Таким образом, задания матриц жесткости базисных конечных эле­ментов M^1,w и всех массивов C^α,β и G^α,β достаточно для автомати­ческого осуществления прямого и обратного хода при решении задачи по МСЭ.

9.2. Способы представления геометрических объектов.

Весьма распространенным в научной и, частично, инженерной практике способом пред­ставления геометрических характеристик конструкций является анали­тическая модель, т.е. задание точечных подмножеств системой уравне­ний и неравенств относительно координат исходного пространства.

Но для сложных конструкций аналитическое представление трудновыполнимо. Кроме того, любой расчетный алгоритм содержит конечное число клас­сов возможных аналитических представлений, и при описании реальной конструкции зачастую требуется расширение числа таких классов, что приводит к созданию соответствующих дополнительных программ.

Значительно большая универсальность и стандартизация достига­ется, при представлении топологических характеристик конструкций геометрическими моделями.

В традиционном процессе конструирования обмен информацией осуществляется на основе эскизных и рабочих чертежей с ис­пользованием нормативно-справочной и технической докумен­тации. В САПР этот обмен реализуется на основе внутримашинного представления объекта.

Под геометрическими моделями понимают модели, содержащие информацию о геометрии изделия, технологическую, функциональ­ную и вспомогательную информацию. Под геометрическим моделированием понимают весь многосту­пенчатый процесс — от вербального описания объекта в соответ­ствии с поставленной задачей до получения внутримашинного представления.